Каталог по темам

Задачи

Страница: << 78 79 80 81 82 83 84 >> [Всего задач: 831]

Задача 65618

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

В треугольник АВС вписана окружность. Из середины каждого отрезка, соединяющего две точки касания, проводится перпендикуляр к противолежащей стороне. Докажите, что эти перпендикуляры пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65644

Темы:	[	Прямоугольные треугольники (прочее)	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Медиана, проведенная к гипотенузе	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Прямая Симсона	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Швецов Д.В.

Пусть M и N – середины гипотенузы AB и катета BC прямоугольного треугольника ABC соответственно. Вневписанная окружность треугольника ACM касается стороны AM в точке Q, а прямой AC – в точке P. Докажите, что точки P, Q и N лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65706

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Кузнецов А.

В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. На отрезке CL выбрана точка M. Касательная в точке B к описанной окружности Ω треугольника ABC пересекает луч CA в точке P. Касательные в точках B и M к описанной окружности Γ треугольника BLM, пересекаются в точке Q. Докажите, что прямые PQ и BL параллельны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65943

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Параллельность прямых и плоскостей	]
	[	Теорема о трех перпендикулярах	]
	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Босс В.

К граням тетраэдра восстановлены перпендикуляры в их точках пересечения медиан.
Докажите, что проекции трёх перпендикуляров на четвёртую грань пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66139

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Отношение площадей подобных треугольников	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Расторгуев В.

Два квадрата расположены, как показано на рисунке. Докажите, что площадь чёрного треугольника равна сумме площадей серых.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 78 79 80 81 82 83 84 >> [Всего задач: 831]