Тема:
Все темы
>>
Алгебра и арифметика
>>
Алгебраические неравенства и системы неравенств
>>
Классические неравенства
- Неравенство Коши (200 задач)
- Классические неравенства (прочее) (50 задач)
Фильтр
Выбрано 29 задач Убрать все задачи
На шахматной доске выбрана клетка. Сумма квадратов расстояний от её центра до центров всех чёрных клеток обозначена через a, а до центров всех белых клеток – через b. Докажите, что a = b.
В треугольник с периметром 2p вписана окружность. К этой окружности проведена касательная, параллельная стороне треугольника. Найдите наибольшую возможную длину отрезка этой касательной, заключённого внутри треугольника.
Найдите производящие функции последовательностей многочленов Чебышева первого и второго рода:
а) В трёхзначном числе зачеркнули первую цифру слева, затем полученное двузначное число умножили на 7 и получили исходное трёхзначное число. Найдите такое число.
б) В трёхзначном числе зачеркнули среднюю цифру и получили число в 6 раз меньше исходного. Найдите такое трёхзначное число.
На прямой даны четыре точки A, B, C, D в указанном
порядке. Постройте точку M, из которой отрезки AB, BC, CD видны под
равными углами.
Найдите расстояние между точками касания окружностей, вписанных в треугольники ABC и CDA, со стороной AC, если
а) AB = 5, BC = 7, CD = DA;
б) AB = 7, BC = CD, DA = 9.
На стороне BC равностороннего треугольника ABC взята точка M, а на продолжении стороны AC за точку C – точка N, причём AM = MN.
Докажите, что BM = CN.
12 команд сыграли турнир по волейболу в один круг. Две команды одержали ровно по 7 побед.
Доказать, что найдутся такие команды А, В, С, что А выиграла у В, В выиграла у С, а С – у А.
Постройте вписанно-описанный четырёхугольник по двум противоположным вершинам и центру вписанной окружности.
Доказать, что среди 18 последовательных трёхзначных чисел найдётся хотя бы одно, которое делится на сумму своих цифр.
Докажите, что
а)
S3 (
/4)3(abc)2;
б)
3hahbhc 43
3rarbrc.
С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся сторон данного угла, причём одной из них — в данной точке.
Найдите первые 99 знаков после запятой в разложении числа .
На сторонах треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1 так, что AB1 : B1C = cn : an, BC1 : C1A = an : bn и CA1 : A1B = bn : cn (a, b, c – длины сторон треугольника). Описанная окружность треугольника A1B1C1 высекает на сторонах треугольника ABC отрезки длиной ±x, ±y и ±z (знаки выбираются в соответствии с ориентацией треугольника). Докажите, что
Докажите, что если α < β и αβ ≠ 0, то Sα(x) ≤ Sβ(x).
Определение средних степенных Sα(x) можно посмотреть в справочнике.
На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты произвольные точки A1, B1 и C1. Пусть a = SAB1C1, b = SA1BC1, c = SA1B1C и u = SA1B1C1. Докажите, что
В равносторонний треугольник со стороной a вписана окружность. К окружности проведена касательная так, что её отрезок внутри треугольника равен b. Найдите площадь треугольника, отсеченного этой касательной.
В угол вписаны две окружности ω и Ω. Прямая l пересекает стороны угла в точках A и F, окружность ω в точках B и C, окружность Ω в точках D и E (порядок точек на прямой – A, B, C, D, E, F). Пусть BC = DE. Докажите, что AB = EF.
Определить четырёхзначное число, если деление этого числа на однозначное производится по следующей схеме:
| × | × | × | × | × | |||
| × | × | ××× | |||||
| × | × | ||||||
| × | × | ||||||
| × | × | × | × | × | |||
| × | ××× | ||||||
| × | × | ||||||
| × | |||||||
| × | × | ||||||
| × | × | ||||||
На сфере радиуса 9 расположены точки L , L1 , M , M1 , N
и N1 . Отрезки LL1 , MM1 и NN1 попарно перпендикулярны
и пересекаются в точке A , отстоящей от центра сферы на расстоянии .
В каком отношении точка A делит отрезок NN1 , если известно, что
LL1=16 , MM1=14 ?
Докажите, что:
а)
б)
Докажите, что если радиус вневписанной окружности равен полупериметру треугольника, то этот треугольник — прямоугольный.
Имеются две одинаковых шестеренки по 14 зубьев на общей оси. Их совместили и выбили четыре пары зубьев.
Доказать, что шестеренки можно повернуть так, что они образуют полноценную шестеренку (без дырок).
Придумайте какой-нибудь способ достроить треугольник Паскаля вверх.
В прямоугольном неравнобедренном треугольнике ABC точка M – середина гипотенузы AC, точки Ha, Hc – ортоцентры треугольников ABM, CBM соответственно, прямые AHc, CHa пересекаются в точке K. Докажите, что ∠MBK = 90°.
Докажите, что при любом a имеет место неравенство: 3(1 + a² + a4) ≥ (1 + a + a²)².
В пространстве дана плоскость П и точки A и B по одну сторону от П (AB не параллельно П). Рассматриваются сферы, проходящие через точки A и B, касающиеся плоскости П. Докажите, что точки касания этих сфер и плоскости П лежат на одной окружности.
Может ли быть так, что а) σ(n) > 3n; б) σ(n) > 100n?
Докажите, что среднее арифметическое всех делителей натурального числа n лежит на отрезке
Задачи Страница: << 34 35 36 37 38 39 40 >> [Всего задач: 258]
Задача 65804 |
|
|
Прямоугольники P и Q равновелики, но у P диагональ больше. Двумя копиями P можно накрыть Q. Докажите, что двумя копиями Q можно накрыть P.
|
|
Решение |
Задача 66053 |
|
|
Имеется n случайных векторов вида (y1, y2, y3), где ровно одна случайная координата равна 1, остальные равны 0. Их складывают. Получается случайный вектор a с координатами (Y1, Y2, Y3).
а) Найдите математическое ожидание случайной величины a².
б) Докажите, что
|
|
|
Решение |
Задача 66111 |
|
|
Взяли несколько положительных чисел и построили по ним такую последовательность: a1 – сумма исходных чисел, a2 – сумма квадратов исходных чисел, a3 – сумма кубов исходных чисел, и т.д.
а) Могло ли случиться, что до a5 последовательность убывает (a1 > a2 > a3 > a4 > a5), а начиная с a5 – возрастает (a5 < a6 < a7 < ...)?
б) А могло ли случиться наоборот: до a5 последовательность возрастает, а начиная с a5 – убывает?
|
|
|
Решение |
Задача 66356 |
|
|
Докажите, что среднее арифметическое всех делителей натурального числа n лежит на отрезке
|
|
Решение |
Задача 79313 |
|
|
Каковы первые четыре цифры числа 11 + 2² + 3³ + ... + 999999 + 10001000?
|
|
|
Решение |
Страница: << 34 35 36 37 38 39 40 >> [Всего задач: 258]
