Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Стереометрия >> Тетраэдр и пирамида >> Пирамида
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 17 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Шаповалов А.В.

Все члены бесконечной арифметической прогрессии – натуральные числа. В каждом члене удалось подчеркнуть одну или несколько подряд идущих цифр так, что в первом члене оказалась подчёркнута цифра 1, во втором – 2,..., в 23-м – цифры 2 и 3 подряд, и так далее (для любого натурального n в n-м члене подчёркнутые цифры образовали число n). Докажите, что разность прогрессии – степень числа 10.

Вниз   Решение

Автор: Васильев Н.Б.

Из последовательности  a,  a + d,  a + 2d,  a + 3d, ...,  являющейся бесконечной арифметической прогрессией, где d не равно 0, тогда и только тогда можно выбрать подпоследовательность, являющуюся бесконечной геометрической прогрессией, когда отношение a/d  рационально. Докажите это.

ВверхВниз   Решение

Расположить на прямой систему отрезков длины 1, не имеющих общих концов и общих точек так, чтобы бесконечная арифметическая прогрессия с любой разностью и любым начальным членом имела общую точку с некоторым отрезком системы.

ВверхВниз   Решение

Автор: Жуков Г.

Дана бесконечно возрастающая арифметическая прогрессия. Первые её несколько членов сложили и сумму объявили первым членом новой последовательности, затем сложили следующие несколько членов исходной прогрессии и сумму объявили вторым членом новой последовательности, и так далее. Могла ли новая последовательность оказаться геометрической прогрессией?

ВверхВниз   Решение

Дана прямоугольная трапеция. Окружность, построенная на меньшей боковой стороне как на диаметре, касается другой боковой стороны и делит её на отрезки, равные a и b. Найдите радиус окружности.

ВверхВниз   Решение

Авторы: Бугаенко В.О., Токарев С.И.

Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отличной от нуля), составленная из натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифры 9.
  а) Докажите, что число её членов меньше 100.
  б) Приведите пример такой прогрессии с 72 членами.
  в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 72.

ВверхВниз   Решение

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
ab cos$ \gamma$ + bc cos$ \alpha$ + ca cos$ \beta$ = (a2 + b2 + c2)/2.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что если  $ {\frac{1}{b}}$ + $ {\frac{1}{c}}$ = $ {\frac{1}{l_a}}$, то  $ \angle$A = 120o.

ВверхВниз   Решение

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  ctg($ \alpha$/2) + ctg($ \beta$/2) + ctg($ \gamma$/2) = p/r;
б)  tg($ \alpha$/2) + tg($ \beta$/2) + tg($ \gamma$/2) = $ \left(\vphantom{\frac{a}{r_a}+\frac{b}{r_b}+\frac{c}{r_c}}\right.$$ {\frac{a}{r_a}}$ + $ {\frac{b}{r_b}}$ + $ {\frac{c}{r_c}}$$ \left.\vphantom{\frac{a}{r_a}+\frac{b}{r_b}+\frac{c}{r_c}}\right)$/2.

ВверхВниз   Решение

Найдите числа, равные удвоенной сумме своих цифр.

ВверхВниз   Решение

Автор: Произволов В.В.

Существуют ли два многоугольника, у которых все вершины общие, но нет ни одной общей стороны?

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC высота AH равна медиане BM. Найдите угол MBC.

ВверхВниз   Решение

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
tg$ \alpha$ + tg$ \beta$ + tg$ \gamma$ = tg$ \alpha$tg$ \beta$tg$ \gamma$.

ВверхВниз   Решение

В пространстве расположено n отрезков, никакие три из которых не параллельны одной плоскости. Для любых двух отрезков прямая, соединяющая их середины, перпендикулярна обоим отрезкам. При каком наибольшем n это возможно?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что выпуклый четырёхгранный угол можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограмм.

ВверхВниз   Решение

В пространстве (но не в одной плоскости) расположены шесть различных точек: A, B, C, D, E и F. Известно, что отрезки AB и DE, BC и EF, CD и FA попарно параллельны. Докажите, что эти же отрезки и попарно равны.

ВверхВниз   Решение

Основание пирамиды SABCD – параллелограмм ABCD ; M – середина AB , N – середина SC . В каком отношении плоскость BSD делит отрезок MN ?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 538]      

  с решениями  

Задача 110390

Темы:   [ Правильная пирамида ]
[ Объем тетраэдра и пирамиды ]
Сложность: 2
Классы: 10,11

Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды с боковым ребром b и высотой h .
Прислать комментарий     Решение

Задача 35618

Темы:   [ Правильная пирамида ]
[ Ортогональная проекция (прочее) ]
Сложность: 2+
Классы: 10,11

Основание пирамиды Хеопса – квадрат, а её боковые грани – равные равнобедренные треугольники.
Может ли угол грани при вершине пирамиды равняться 100°?

Прислать комментарий     Решение

Задача 108758

Темы:   [ Правильная пирамида ]
[ Углы между прямыми и плоскостями ]
Сложность: 2+
Классы: 10,11

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a . Боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60o . Найдите высоту пирамиды.
Прислать комментарий     Решение

Задача 79455

Темы:   [ Пирамида (прочее) ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
Сложность: 3
Классы: 10

Боковые рёбра треугольной пирамиды имеют одинаковую длину, а боковые грани — одинаковую площадь. Докажите, что основание этой пирамиды — равнобедренный треугольник.
Прислать комментарий     Решение

Задача 86957

Темы:   [ Четырехугольная пирамида ]
[ Построения на проекционном чертеже ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Основание пирамиды SABCD – параллелограмм ABCD ; M – середина AB , N – середина SC . В каком отношении плоскость BSD делит отрезок MN ?
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 538]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .