Фильтр
Выбрано 22 задачи Убрать все задачи
В первой четверти у Васи было пять оценок по математике, больше всего среди них пятёрок. При этом оказалось, что медиана всех оценок равна 4, а среднее арифметическое 3,8. Какие оценки могли быть у Васи?
В ящиках лежат орехи. Известно, что в среднем в каждом ящике 10 орехов, а среднее арифметическое квадратов чисел орехов в ящиках меньше 1000. Докажите, что по крайней мере 10% ящиков не пустые.
Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трёх букв. Словом является любая последовательность, состоящая не более чем из четырёх букв.
Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо?
В страшную грозу по верёвочной лестнице цепочкой поднимаются n гномиков. Если вдруг случится удар грома, то от испуга каждый гномик, независимо от других, может упасть с вероятностью p (0 < p < 1). Если гномик падает, то он сшибает и всех гномиков, которые находятся ниже. Найдите:
а) Вероятность того, что упадёт ровно k гномиков.
б) Математическое ожидание числа упавших гномиков.
Последовательность состоит из 19 единиц и 49 нулей, стоящих в случайном порядке. Назовём группой максимальную подпоследовательность из одинаковых символов. Например, в последовательности 110001001111 пять групп: две единицы, потом три нуля, потом одна единица, потом два нуля и, наконец, четыре единицы. Найдите математическое ожидание длины первой группы.
Докажите или опровергните следующее утверждение: круг площадью
можно поместить внутрь треугольника со сторонами 3, 4 и 5.
а) Из любых двухсот целых чисел можно выбрать сто чисел, сумма которых делится на 100. Докажите это.
б) Из любых 2n – 1 целых чисел можно выбрать n, сумма которых делится на n. Докажите это.
В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 20, а диаметр описанной окружности равен 25. Найдите радиус вписанной окружности.
Выпуклый многоугольник разрезан на выпуклые семиугольники (так, что каждая сторона многоугольника является стороной одного из семиугольников). Докажите, что найдутся четыре соседние вершины многоугольника, принадлежащие одному семиугольнику.
Сколько диагоналей имеет выпуклый:
а) 10-угольник; б) k-угольник (k > 3)?
Окружности
,
,
и
касаются данной
окружности в вершинах A, B, C и D выпуклого четырехугольника ABCD.
Пусть
t
— длина общей касательной к окружностям
и
(внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно,
и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее);
t
, t
и т. д. определяются аналогично. Докажите,
что
t
t
+ t
t
= t
t
(обобщенная теорема Птолемея).
В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
На сушке в случайном порядке (как достали из стиральной машины) висит n пар носков. Двух одинаковых пар нет. Носки висят за сохнущей простыней, поэтому Рассеянный Учёный достает по одному носку на ощупь и сравнивает каждый новый носок со всеми предыдущими. Найдите математическое ожидание числа носков, снятых к моменту, когда у Учёного окажется какая-нибудь пара.
Стороны BC = a, AC = b, AB = c треугольника ABC образуют арифметическую прогрессию, причём a < b < c. Биссектриса угла B пересекает описанную окружность в точке B1. Докажите, что центр O вписанной окружности делит отрезок BB1 пополам.
Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и чёрного королей так, чтобы получилась допустимая правилами игры позиция?
Сколько существует трёхзначных чисел, в записи которых цифры 1, 2, 3 встречаются ровно по одному разу?
В окружность вписан неправильный многоугольник. Если вершина A разбивает дугу, заключенную между двумя другими вершинами, на две неравные части, то такая вершина A называется неустойчивой. Каждую секунду какая-нибудь неустойчивая вершина перепрыгивает в середину своей дуги. В результате каждую секунду образуется новый многоугольник. Докажите, что сколько бы секунд ни прошло, многоугольник никогда не будет равным исходному.
У двух человек было два квадратных торта. Каждый сделал на своём торте по 2 прямолинейных разреза от края до края. При этом у одного получилось три куска, а у другого — четыре. Как это могло быть?
а) В Стране Чудес есть три города A, B и C. Из города A в город B ведет 6 дорог, а из города B в город C – 4 дороги.
Сколькими cпособами можно проехать от A до C?
б) В Стране Чудес построили еще один город D и несколько новых дорог – две из A в D и две из D в C.
Сколькими способами можно теперь добраться из города A в город C?
Вася в ярости режет прямоугольный лист бумаги ножницами. Каждую секунду он разрезает первый попавшийся кусок случайным прямолинейным разрезом на две части.
а) Найдите математическое ожидание числа сторон многоугольника,
который случайно попадётся Васе через час такой работы.
б) Решите эту же задачу, если вначале лист бумаги имел форму
произвольного многоугольника.
Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны и
пересекаются в точке O. Известно, что сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники AOB и COD, равна сумме радиусов окружностей, вписанных в треугольники BOC и DOA. Докажите, что
а) четырёхугольник ABCD – описанный;
б) четырёхугольник ABCD симметричен относительно одной из своих диагоналей.
У продавца имеются чашечные весы с неравными плечами и гири. Сначала он взвешивает товар на одной чашке, затем – на другой и берёт средний вес. Не обманывает ли он?
Задачи Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 168]
Задача 88292 |
|
|
У продавца имеются чашечные весы с неравными плечами и гири. Сначала он взвешивает товар на одной чашке, затем – на другой и берёт средний вес. Не обманывает ли он?
|
|
Решение |
Задача 116025 |
|
|
В пифагоровой таблице умножения выделили прямоугольную рамку толщиной в одну клетку, причём каждая сторона рамки состоит из нечётного числа клеток. Клетки рамки поочередно раскрасили в два цвета – чёрный и белый. Докажите, что сумма чисел в чёрных клетках равна сумме чисел в белых клетках.
Пифагорова таблица умножения – это клетчатая таблица, в которой на пересечении m-й строки и n-го столбца стоит число mn
(для любых натуральных m и n).
|
|
Решение |
Задача 57001 |
|
|
Треугольник, составленный: а) из медиан; б) из высот треугольника ABC, подобен треугольнику ABC.
Каким соотношением связаны длины сторон треугольника ABC?
|
|
|
Решение |
Задача 65269 |
|
|
В первой четверти у Васи было пять оценок по математике, больше всего среди них пятёрок. При этом оказалось, что медиана всех оценок равна 4, а среднее арифметическое 3,8. Какие оценки могли быть у Васи?
|
|
|
Решение |
Задача 64613 |
|
|
Многочлен степени $n > 1$ имеет $n$ разных корней $х_1$, $х_2$, ..., $х_n$. Его производная имеет корни $y_1$, $y_2$, ..., $y_{n-1}$. Докажите неравенство $$\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n} > \frac{y_1^2 + \dots + y_{n-1}^2}{n-1}.$$
|
|
|
Решение |
Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 168]
