Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Преобразования плоскости
>>
Движения
>>
Композиции движений. Теорема Шаля
Фильтр
Выбрано 15 задач Убрать все задачи
У прямого кругового конуса длина образующей равна 5, а диаметр равен 8.
Найдите наибольшую площадь треугольного сечения, которая может получиться при пересечении конуса плоскостью.
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, равные a и b. Найдите катеты.
Докажите, что при инверсии с центром O окружность, проходящая
через O, переходит в прямую, а окружность, не проходящая через O, — в окружность.
Пусть точки $P$ и $Q$ изогонально сопряжены относительно треугольника $ABC$. Точка $A_1$, лежащая на дуге $BC$ описанной около треугольника окружности $\omega$, удовлетворяет условию $\angle BA_1P=\angle CA_1Q$. Точки $B_1$ и $C_1$ определены аналогично. Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке.
Докажите, что при инверсии с центром O прямая l,
не проходящая через O, переходит в окружность, проходящую через O.
Докажите неравенство 2m+n–2 ≥ mn, где m и n – натуральные числа.
К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 12 и высотой 8, проведена касательная, параллельная основанию.
Найдите длину отрезка этой касательной, заключённого между сторонами треугольника.
Каждую из трех котлет нужно пожарить на сковороде с двух сторон в течение пяти минут каждую сторону. На сковороде умещается только две котлеты. Можно ли сжарить все три котлеты быстрее, чем за 20 минут (временем на переворачивание и перекладывание котлет пренебрегаем)?
Ковровая дорожка покрывает лестницу из 9 ступенек. Длина и высота лестницы равны 2 метрам. Хватит ли этой ковровой дорожки, чтобы покрыть лестницу из 10 ступенек длиной и высотой 2 метра?
Доказать, что для любого треугольника отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей, делится описанной окружностью пополам.
Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и CA взяты точки C1, A1, и B1 соответственно, отличные от вершин треугольника. Докажите, что окружности, описанные около треугольников AB1C1, A1B1C, A1BC1, пересекаются в одной точке.
В треугольнике ABC угол A больше угла B. Докажите, что длина стороны BC больше половины длины стороны AB.
Окружность разделена в отношении 5:9:10 и через точки деления проведены касательные. Найдите наибольший угол в полученном треугольнике.
В треугольнике ABC сторона BC равна полусумме двух других сторон. Через точку A и середины B', C' сторон AB и AC проведена окружность Ω и к ней из центра тяжести треугольника проведены касательные. Доказать, что одна из точек касания является центром I вписанной окружности треугольника ABC.
Из бумаги вырезали два одинаковых треугольника ABC и A'B'C' и положили их на стол, перевернув при этом один из треугольников.
Докажите, что середины отрезков AA', BB' и CC' лежат на одной прямой.
Задачи Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]
Задача 57908 |
|
|
Пусть движение плоскости переводит фигуру F в фигуру F'. Для каждой пары
соответственных точек A и A' рассмотрим середину X отрезка AA'.
Докажите, что либо все точки X совпадают, либо все они лежат на одной прямой,
либо образуют фигуру, подобную F.
|
|
Решение |
Задача 98562 |
|
|
Из бумаги вырезали два одинаковых треугольника ABC и A'B'C' и положили их на стол, перевернув при этом один из треугольников.
Докажите, что середины отрезков AA', BB' и CC' лежат на одной прямой.
|
|
Решение |
Задача 78676 |
|
|
Круглый пирог режут следующим образом. Вырезают сектор с углом ,
переворачивают его на другую сторону и весь пирог поворачивают на угол
.
Дано, что
<
< 180o. Доказать, что после некоторого
конечного числа таких операций каждая точка пирога будет находиться на том же
месте, что и в начале.
|
|
|
Решение |
Задача 110755 |
|
Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O . Точки C' , D' симметричны ортоцентрам треугольников ABD и ABC относительно O . Докажите, что если прямые BD и BD' симметричны относительно биссектрисы угла B , то прямые AC и AC' симметричны относительно биссектрисы угла A .
|
|
|
Решение |
Задача 73714 |
|
Для каждого непрямоугольного треугольника T обозначим через T1 треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T; через T2 – треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T1; аналогично определим треугольники T3, T4 и так далее. Каким должен быть треугольник T, чтобы
а) треугольник T1 был остроугольным?
б) в последовательности T1, T2, T3, ... встретился прямоугольный треугольник Tn (и таким образом треугольник Tn+1 не определён)?
в) треугольник T3 был подобен треугольнику T?
г) Для каждого натурального числа n выясните, сколько существует неподобных друг другу треугольников T, для которых треугольник Tn подобен треугольнику Т.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]
