Страница: << 264 265 266 267 268 269 270 >> [Всего задач: 2992]      

Окружности ω₁ и ω₂ касаются друг друга внешним образом в точке P. Из точки A окружности ω₂, не лежащей на линии центров окружностей, проведены касательные AB, AC к ω₁. Прямые BP, CP вторично пересекают ω₂ в точках E и F. Докажите, что прямая EF, касательная к ω₂ в точке A, и общая касательная к окружностям в точке P пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

В сегмент, ограниченный хордой и дугой AB окружности, вписана окружность ω с центром I. Обозначим середину указанной дуги AB через M, а середину дополнительной дуги через N. Из точки N проведены две прямые, касающиеся ω в точках C и D. Противоположные стороны AD и BC четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Y, а его диагонали пересекаются в точке X. Докажите, что точки X, Y, I и M лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

В угол вписаны две окружности ω и Ω. Прямая l пересекает стороны угла в точках A и F, окружность ω в точках B и C, окружность Ω в точках D и E (порядок точек на прямой – A, B, C, D, E, F). Пусть  BC = DE.  Докажите, что  AB = EF.

Прислать комментарий

Решение

Пусть $E$ – одна из двух точек пересечения окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$. Пусть $AB$ – общая внешняя касательная этих окружностей, прямая $CD$ параллельна $AB$, причем точки $A$ и $C$ лежат на $\omega_1$, а точки $B$ и $D$ – на $\omega_2$. Окружности $ABE$ и $CDE$ повторно пересекаются в точке $F$. Докажите, что $F$ делит одну из дуг $CD$ окружности $CDE$ пополам.

Прислать комментарий

Решение

Трапеция с основанием и высотой + вписана в окружность радиуса . Каждый из четырёх отсекаемых сторонами трапеции сегментов отражён внутрь трапеции симметрично относительно отсекающей его стороны. Найдите площадь фигуры, состоящей из тех точек трапеции, которые не принадлежат ни одному из отражённых внутрь неё сегментов.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 264 265 266 267 268 269 270 >> [Всего задач: 2992]