Каталог по темам

Задачи

Страница: << 276 277 278 279 280 281 282 >> [Всего задач: 1409]

Задача 110129

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Биссектриса делит дугу пополам	]
	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Формула Герона	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Емельянов Л.А.

Пусть A₀ – середина стороны BC треугольника ABC, а A' – точка касания с этой стороной вписанной окружности. Построим окружность Ω с центром в A₀ и проходящую через A'. На других сторонах построим аналогичные окружности. Докажите, что если Ω касается описанной окружности на дуге BC, не содержащей A, то еще одна из построенных окружностей касается описанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110751

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Выпуклый анализ и линейное программирование	]
	[	Неравенства с площадями	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Перенос помогает решить задачу	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Каждой стороне b выпуклого многоугольника P поставлена в соответствие наибольшая из площадей треугольников, содержащихся в P, одна из сторон которых совпадает с b. Докажите, что сумма площадей, соответствующих всем сторонам P, не меньше удвоенной площади многоугольника P.

Прислать комментарий Решение

Задача 58134

Темы:	[	Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее)	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Перенос стороны, диагонали и т.п.	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Площадь многоугольника	]

Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

Докажите, что при симметризации по Штейнеру площадь многоугольника не изменяется, а его периметр не увеличивается.

Прислать комментарий Решение

Задача 110485

[Равногранный тетраэдр]

Темы:	[	Равногранный тетраэдр	]
	[	Достроение тетраэдра до параллелепипеда	]
	[	Развертка помогает решить задачу	]
	[	Проектирование помогает решить задачу	]
	[	Медиана пирамиды (тетраэдра)	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]

Сложность: 6+
Классы: 10,11

Докажите, что следующие свойства тетраэдра равносильны:

1) все грани равновелики;

2) каждое ребро равно противоположному;

3) все грани равны;

4) центры описанной и вписанной сфер совпадают;

5) суммы углов при каждой вершине равны;

6) сумма плоских углов при каждой вершине равна 180^o ;

7) развёртка тетраэдра представляет собой остроугольный треугольник, в котором проведены средние линии;

8) все грани – остроугольные треугольники с одинаковым радиусом описанной окружности;

9) ортогональная проекция тетраэдра на каждую из трёх плоскостей, параллельных двум противоположным рёбрам, – прямоугольник;

10) параллелепипед, полученный в результате проведения через противоположные рёбра трёх пар параллельных плоскостей, – прямоугольный;

11) высоты тетраэдра равны;

12) точка пересечения медиан совпадает с центром описанной сферы;

13) точка пересечения медиан совпадает с центром вписанной сферы;

14) сумма плоских углов при трёх вершинах равна 180^o ;

15) сумма плоских углов при двух вершинах равна 180^o и два противоположных ребра равны.

Прислать комментарий Решение

Задача 111206

Темы:	[	Площадь сечения	]
	[	Правильная пирамида	]
	[	Теорема о трех перпендикулярах	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Площадь и ортогональная проекция	]
	[	Симметрия относительно плоскости	]
	[	Площадь трапеции	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Через середину ребра AC правильной треугольной пирамиды SABC (S – вершина) проведены плоскости α и β, каждая из которых образует угол 30° с плоскостью ABC. Найдите площади сечений пирамиды SABC плоскостями α и β, если эти сечения имеют общую сторону длины 1, лежащую в грани ABC, а плоскость α перпендикулярна ребру SA.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 276 277 278 279 280 281 282 >> [Всего задач: 1409]