Докажите, что центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой гипотенузы.

   Решение

Замените буквы в слове ТРАНСПОРТИРОВКА цифрами (разным буквам соответствуют разные цифры, а одинаковым одинаковые) так, чтобы выполнялось неравенство  Т > Р > А > Н < С < П < О < Р < Т > И > Р > О < В < К < А.

   Решение

Диагонали трапеции ABCD перпендикулярны. Точка M – середина боковой стороны AB, точка N симметрична центру описанной окружности треугольника ABD относительно прямой AD. Докажите, что ∠CMN = 90°.

   Решение

Пусть m и n – целые числа. Докажите, что  mn(m + n)  – чётное число.

   Решение

Докажите, что если α, β, γ и α₁, β₁, γ₁ – углы двух треугольников, то   ^{cos α₁}/_{sin α} + ^{cos β₁}/_{sin β} + ^{cos γ₁}/_{sin γ} ≤ ctg α + ctg β + ctg γ.

   Решение

Яблоко плавает на воде так, что ¹/₅ часть яблока находится над водой, а ⁴/₅ – под водой. Под водой яблоко начинает есть рыбка со скоростью 120 г/мин., одновременно над водой яблоко начинает есть птичка со скоростью 60 г/мин. Какая часть яблока достанется рыбке, а какая – птичке?

   Решение

Биссектриса угла C и внешнего угла A трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке M, а биссектриса угла B и внешнего угла D – в точке N. Докажите, что середина отрезка MN равноудалена от прямых AB и CD.

   Решение

Легко можно разрезать квадрат на два равных треугольника или два равных четырёхугольника.
А как разрезать квадрат на два равных пятиугольника или два равных шестиугольника?

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C провели биссектрисы AK и BN, на которые опустили перпендикуляры CD и CE из вершины прямого угла. Докажите, что длина отрезка DE равна радиусу вписанной окружности.

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC из вершины B прямого угла опущена высота BD на гипотенузу AC. Известно, что  AB = 13,  BD = 12.
Найдите площадь треугольника ABC.

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC из вершины A прямого угла опущена высота AH на гипотенузу BC. Известно, что  AC = 5,  HC = 3.
Найдите площадь треугольника ABC.

   Решение

Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:7, а высота, опущенная на гипотенузу, равна 42. Найдите отрезки, на которые высота делит гипотенузу.

   Решение

Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а проекция другого катета на гипотенузу равна 16. Найдите радиус вписанной окружности.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 158]      

Точки A, B и C лежат на одной прямой, а точки A₁, B₁ и C₁ таковы, что  AB₁ || BA₁,  AC₁ || CA₁  и  BC₁ || CB₁.
Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что проекции вершины A треугольника ABC на биссектрисы внешних и внутренних углов при вершинах B и C лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, M, N – середины дуг ABC и BAC описанной окружности.
Докажите, что точки M, I, N лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда  AC + BC = 3AB.

Прислать комментарий

Решение

Середины высот треугольника ABC лежат на одной прямой. Наибольшая сторона треугольника  AB = 10 см.
Какое максимальное значение может принимать площадь треугольника ABC?

Прислать комментарий

Решение

Площадь треугольника ABC равна 10 см². Какое наименьшее значение может принимать радиус описанной окружности треугольника ABC, если известно, что середины высот этого треугольника лежат на одной прямой?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 158]