Страница:
<< 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 136]
|
|
Сложность: 5 Классы: 9,10,11
|
Диагонали вписанно-описанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $L$. Даны три отрезка, равные $AL$, $BL$, $CL$. Восстановите четырехугольник с помощью циркуля и линейки.
На стороне
BC треугольника
ABC взяты точки
K1 и
K2. Докажите, что
общие внешние касательные к вписанным окружностям треугольников
ABK1 и
ACK2 общие внешние касательные к вписанным окружностям треугольников
ABK2
и
ACK1 пересекаются в одной точке.
|
|
Сложность: 6 Классы: 8,9,10,11
|
Окружность, вписанная в четырёхугольник
ABCD , касается его
сторон
DA ,
AB ,
BC и
CD в точках
K ,
L ,
M и
N
соответственно. Пусть
S1
,
S2
,
S3
и
S4
–
окружности, вписанные в треугольники
AKL ,
BLM ,
CMN и
DNK
соответственно. К окружностям
S1
и
S2
,
S2
и
S3
,
S3
и
S4
,
S4
и
S1
проведены общие касательные,
отличные от сторон четырёхугольника
ABCD . Докажите, что
четырёхугольник, образованный этими четырьмя касательными, – ромб.
Через каждую из точек пересечения продолжений сторон выпуклого четырехугольника
ABCD проведено по две прямые. Эти прямые делят четырехугольник на девять
четырехугольников.
а) Докажите, что если три из четырехугольников, примыкающих к вершинам
A,
B,
C,
D, описанные, то четвертый четырехугольник тоже описанный.
б) Докажите, что если
ra,
rb,
rc,
rd — радиусы окружностей,
вписанных в четырехугольники, примыкающие к вершинам
A,
B,
C,
D, то
Докажите, что точка пересечения диагоналей описанного
четырехугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей
четырехугольника, вершинами которого служат точки касания сторон
исходного четырехугольника с вписанной окружностью.
Страница:
<< 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 136]