Выбрано 20 задач 
Убрать все задачи
В равнобедренной трапеции проведена диагональ. По контуру каждого из получившихся двух треугольников ползёт свой жук. Скорости движения жуков постоянны и одинаковы. Жуки не меняют направления обхода своих контуров, и по диагонали трапеции они ползут в разных направлениях. Докажите, что при любых начальных положениях жуков они когда-нибудь встретятся.
Уравнение x² + px + q = 0 имеет корни x1 и x2. Напишите уравнение, корнями которого будут числа y1, y2 равные:
а)
б)
в)
г)
Касательная в точке A к описанной окружности треугольника ABC пересекает прямую BC в точке E;AD - биссектриса треугольника ABC. Докажите, что AE = ED.
Две окружности радиусов r и R с центрами в точках O1 и O касаются внутренним образом в точке K. В точке A окружности радиуса r проведена касательная, пересекающая окружность радиуса R в точках B и C. Известно, что AC : AB = p и отрезок AC пересекает отрезок OK. Определите:
а) при каких условиях на r, R и p возможна такая геометрическая конфигурация;
б) длину отрезка BC.
По мнению Тани, в идеальном кофейном напитке должно быть ровно в 9 раз больше кофе, чем молока. У Глеба есть стакан и кружка, а также целая цистерна молока и огромная турка с неограниченным запасом кофе. Аккуратный Глеб может отпить ровно половину содержимого кружки или стакана. Как Глебу приготовить для Тани целый стакан идеального кофейного напитка, если точный объём кружки неизвестен, но он как минимум на $10\%$ больше объёма стакана? Глеб может наливать кофе и молоко в стакан или в кружку, может выливать содержимое, переливать из кружки в стакан или наоборот, отпивать половину содержимого любое конечное количество раз.
Периметр прямоугольника равен 40. Какой из таких прямоугольников имеет наибольшую площадь?
Окружности $s_1$ и $s_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проводятся всевозможные прямые, вторично пересекающие окружности в точках $P_1$ и $P_2$. Постройте циркулем и линейкой ту прямую, для которой $P_1A\cdot AP_2$ принимает наибольшее значение.
Дан треугольник $ABC$. Прямая $AB$ касается его вписанной окружности в точке $C'$, а вневписанной, касающейся стороны $BC$, – в точке $C'_a$. Аналогично определяются точки $C'_b$, $C'_c$, $A'$, $A'_a$, $A'_b$, $A'_c$, $B'$, $B'_a$, $B'_b$, $B'_c$. Рассмотрим длины 12 отрезков – высот треугольников $A'B'C'$, $A'_aB'_aC'_a$, $A'_bB'_bC'_b$, $A'_cB'_cC'_c$.
а) Какое наибольшее число различных может быть среди них?
б) Найдите все возможные количества различных длин.
В квадрате отметили 20 точек и соединили их непересекающимися отрезками друг с другом и с вершинами квадрата так, что квадрат разбился на треугольники. Сколько получилось треугольников?
Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый
многоугольник?
Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Через каждые две из них провести окружность так, чтобы три проведённые окружности имели в точках пересечения взаимно перпендикулярные касательные.
Докажите, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A, меньше полусуммы сторон AB и AC.
Найдите число нулей, на которое оканчивается число 11100 – 1.
Параллельные стороны трапеции равны 25 и 4, а непараллельные – 20 и 13. Найдите высоту трапеции.
Дана тригармоническая четвёрка точек A, B, C и D (то есть AB·CD = AC·BD = AD·BC). Пусть A1 – такая отличная от A точка, что четвёрка точек A1, B, C и D тригармоническая. Точки B1, C1 и D1 определяются аналогично. Докажите, что
a) A, B, C1, D1 лежат на одной окружности;
б) точки A1, B1, C1, D1 образуют тригармоническую четвёрку.
Каждая из шести окружностей касается четырех
из оставшихся пяти (рис.). Докажите, что для любой
пары несоприкасающихся окружностей (из этих шести) их
радиусы и расстояние между центрами связаны соотношением
d2 = r12 + r22±6r1r2 (к плюск — если окружности не
лежат одна внутри другой, к минуск — в противном случае).
Может ли квадрат какого-либо натурального числа начинаться с 1983 девяток?
Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Точки D и E диаметрально противоположны вершинам A и B соответственно. Хорда DF параллельна стороне BC. Прямая EF пересекает сторону AC в точке G, а сторону BC – в точке H. Докажите, что OG || BC и EG = GH = GC.
У Пети есть колода из 36 карт (4 масти по 9 карт в каждой). Он выбирает из неё половину карт (какие хочет) и отдаёт Васе, а вторую половину оставляет себе.
Далее каждым ходом игроки по очереди выкладывают на стол по одной карте (по своему выбору, в открытом виде); начинает Петя. Если в ответ на ход Пети Вася смог выложить карту той же масти или того же достоинства, Вася зарабатывает
1 очко. Какое наибольшее количество очков он может гарантированно заработать?
На доске n×n расставлено n – 1 фишек так, что никакие две из них не стоят на соседних (по стороне) клетках.
Докажите, что одну из них можно передвинуть на соседнюю клетку так, чтобы снова никакие две фишки не стояли на соседних клетках.
|
|
 |
Условие
На доске n×n расставлено n – 1 фишек так, что никакие две из них не стоят на соседних (по стороне) клетках.
Докажите, что одну из них можно передвинуть на соседнюю клетку так, чтобы снова никакие две фишки не стояли на соседних клетках.
Подсказка
Предположите противное и докажите, что число пустых меньше числа пустых столбцов.
Решение
Предположим противное. Ясно, что в таблице есть пустые столбцы. Заметим, что пустой столбец не может быть крайним. Действительно, если, скажем, правый столбец пуст, то из самого правого непустого столбца можно сдвинуть фишку вправо. Аналогично доказывается, что не может быть двух пустых столбцов подряд. Итак, слева от каждого пустого столбца есть фишка. Её нельзя сдвинуть вправо, значит, в той же строке справа через одну от неё стоит фишка. Таким образом, каждая "левая" фишка находится в строке, где есть другие фишки.
Пусть всего пустых столбцов k. Тогда соответствующих "левых" фишек не меньше k. Следовательно, все фишки занимают не более n – 1 – k строк, и пустых строк не меньше k + 1, то есть больше чем пустых столбцов.
Но аналогично можно доказать, что пустых столбцов больше, чем пустых строк. Противоречие.
Замечания
Ср. с задачей 109441.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
