Версия для печати
Убрать все задачи

---

Шифр кодового замка является двузначным числом. Буратино забыл код, но помнит, что сумма цифр этого числа, сложенная с их произведением, равна самому числу. Напишите все возможные варианты кода, чтобы Буратино смог быстрее открыть замок.

   Решение

---

В клетчатом прямоугольнике m×n каждая клетка может быть либо живой, либо мёртвой. Каждую минуту одновременно все живые клетки умирают, а те мёртвые, у которых было нечётное число живых соседей (по стороне), оживают.
Укажите все пары  (m, n),  для которых найдётся такая начальная расстановка живых и мёртвых клеток, что жизнь в прямоугольнике будет существовать вечно (то есть в каждый момент времени хотя бы одна клетка будет живой)?

   Решение

---

Дано множество точек O, A₁, A₂, ..., A_n на плоскости. Расстояние между любыми двумя из этих точек является квадратным корнем из натурального числа. Докажите, что существуют такие векторы x и y, что для любой точки A_i выполняется равенство     где k и l – некоторые целые числа.

   Решение

---

На плоскости даны шесть точек. Известно, что их можно разбить на две тройки так, что получатся два треугольника. Всегда ли можно разбить эти точки на две тройки так, чтобы получились два треугольника, которые не имеют друг с другом никаких общих точек (ни внутри, ни на границе)?

   Решение

---

Дан параллелограмм ABCD. Две окружности с центрами в вершинах A и C проходят через D. Прямая l проходит через D и вторично пересекает окружности в точках X, Y. Докажите, что  BX = BY.

   Решение

---

Две команды КВН участвуют в игре из четырёх конкурсов. За каждый конкурс каждый из шести судей выставляет оценку – целое число от 1 до 5; компьютер находит среднее арифметическое оценок за конкурс и округляет его с точностью до десятых. Победитель определяется по сумме четырёх полученных компьютером значений. Может ли оказаться, что сумма всех оценок, выставленных судьями, у проигравшей команды больше, чем у выигравшей?

   Решение

---

В каждой клетке квадрата 101×101, кроме центральной, стоит один из двух знаков: "поворот" или "прямо". Машинка въезжает извне в произвольную клетку на границе квадрата, после чего ездит параллельно сторонам клеток, придерживаясь двух правил:
  1) в клетке со знаком "прямо" она продолжает путь в том же направлении;
  2) в клетке со знаком "поворот" она поворачивает на 90° (в любую сторону по своему выбору).
Центральную клетку квадрата занимает дом. Можно ли расставить знаки так, чтобы у машинки не было возможности врезаться в дом?

   Решение

---

Пусть C(n) – количество различных простых делителей числа n. (Например,  C(10) = 2,  C(11) = 1,  C(12) = 2.)
Конечно или бесконечно число таких пар натуральных чисел  (a, b),  что  a ≠ b  и  C(a + b) = C(a) + C(b)?

   Решение

---

Назовём усложнением числа приписывание к нему одной цифры в начало, в конец или между любыми двумя его цифрами. Существует ли натуральное число, из которого невозможно получить полный квадрат с помощью ста усложнений?

   Решение

---

На доске написано несколько натуральных чисел. Сумма любых двух из них – натуральная степень двойки.
Какое наибольшее число различных может быть среди чисел на доске?

   Решение

---

Квадратную салфетку сложили пополам, полученный прямоугольник сложили пополам ещё раз (см. рисунок). Получившийся квадратик разрезали ножницами (по прямой). Могла ли салфетка распасться а) на 2 части? б) на 3 части? в) на 4 части? г) на 5 частей? Если да — нарисуйте такой разрез, если нет — напишите слово '' нельзя''.

   Решение

---

Разрежьте квадрат 6×6 клеточек на трёхклеточные уголки (см. рис.) так, чтобы никакие два уголка не образовывали прямоугольник 2×3.

   Решение

---

Дан треугольник ABC площади 1. Из вершины B опущен перпендикуляр BM на биссектрису угла C. Найдите площадь треугольника AMC.

   Решение

---

2002 год — год-палиндром, то есть одинаково читается справа налево и слева направо. Предыдущий год-палиндром был 11 лет назад (1991). Какое максимальное число годов-непалиндромов может идти подряд (между 1000 и 9999 годами)?

   Решение

---

У Вани было некоторое количество печенья; он сколько-то съел, а потом к нему в гости пришла Таня, и оставшееся печенье они разделили поровну. Оказалось, что Ваня съел в пять раз больше печений, чем Таня. Какую долю от всего печенья Ваня съел к моменту Таниного прихода?

   Решение

---

В магазине три этажа, перемещаться между которыми можно только на лифте. Исследование посещаемости этажей магазина показало, что с начала рабочего дня и до закрытия магазина:
  1) из покупателей, входящих в лифт на втором этаже, половина едет на первый этаж, а половина – на третий;
  2) среди покупателей, выходящих из лифта, меньше трети делает это на третьем этаже.
На какой этаж покупатели чаще ездили с первого этажа, на второй или на третий?

   Решение

---

В пятиугольнике A₁A₂A₃A₄A₅ проведены биссектрисы l₁, l₂, ..., l₅ углов A₁, A₂, ..., A₅ соответственно. Биссектрисы l₁ и l₂ пересекаются в точке B₁, l₂ и l₃ – в точке B₂ и т.д., ..., l₅ и l₁ пересекаются в точке B₅. Может ли пятиугольник B₁B₂B₃B₄B₅ оказаться выпуклым?

   Решение

---

На клетчатой бумаге проведена диагональ прямоугольника 1×4.
Покажите, как, пользуясь только линейкой без делений, разделить этот отрезок на три равные части.

   Решение

---

Кривая на плоскости в некоторой системе координат (декартовой) служит графиком функции y = sin x. Может ли та же кривая являться графиком функции y = sin ²x в другой системе координат: если да, то каковы её начало координат и единицы длины на осях (относительно исходных координат и единиц длины)?

   Решение

---

Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором  BC = a,  AB = AC = b.  На стороне AC во внешнюю сторону построен треугольник ADC, в котором
AD = DC = a.  Пусть CM и CN – биссектрисы в треугольниках ABC и ADC соответственно. Найдите радиус описанной окружности треугольника CMN.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64903

Темы:   [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

В треугольнике ABC точка M – середина AB, а точка D – основание высоты CD. Докажите, что  ∠A = 2∠B  тогда и только тогда, когда  AC = 2MD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64699

Темы:   [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В неравнобедренном треугольнике ABC проведены высота из вершины A и биссектрисы из двух других вершин.
Докажите, что описанная окружность треугольника, образованного этими тремя прямыми, касается биссектрисы, проведённой из вершины A.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64919

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Квадрат ABCD вписан в окружность. Точка M лежит на дуге BC, прямая AM пересекает BD в точке P, прямая DM пересекает AC в точке Q.
Докажите, что площадь четырёхугольника APQD равна половине площади квадрата.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116908

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором  BC = a,  AB = AC = b.  На стороне AC во внешнюю сторону построен треугольник ADC, в котором
AD = DC = a.  Пусть CM и CN – биссектрисы в треугольниках ABC и ADC соответственно. Найдите радиус описанной окружности треугольника CMN.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64982

Темы:   [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Касающиеся окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

В треугольнике ABC середины сторон AC, BC, вершина C и точка пересечения медиан лежат на одной окружности.
Докажите, что она касается окружности, проходящей через вершины A, B и ортоцентр треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями