Версия для печати
Убрать все задачи

---

Назовём пару  ($m, n$)  различных натуральных чисел $m$ и n хорошей, если $mn$ и  $(m + 1)(n + 1)$  – точные квадраты. Докажите, что для каждого натурального $m$ существует хотя бы одно такое  $n > m$,  что пара  ($m, n$)  хорошая.

   Решение

---

Многочлен  x³ + px² + qx + r  имеет на интервале  (0, 2)  три корня. Докажите, что  – 2 < p + q + r < 0.

   Решение

---

Правильный треугольник, лежащий в плоскости $\alpha$, ортогонально спроектировали на непараллельную ей плоскость $\beta$, полученный треугольник ортогонально спроектировали на плоскость $\gamma$ и получили снова правильный треугольник. Докажите, что
  а) угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равен углу между плоскостями $\beta$ и $\gamma$;
  б) плоскость $\beta$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\gamma$ по перпендикулярным друг другу прямым.

   Решение

---

Даны 11 гирь разного веса (одинаковых нет), каждая весит целое число граммов. Известно, что как ни разложить гири (все или часть) на две чаши, чтобы гирь на них было не поровну, всегда перевесит чаша, на которой гирь больше. Докажите, что хотя бы одна из гирь весит более 35 граммов.

   Решение

Страница: << 103 104 105 106 107 108 109 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66334

Темы:   [ Упаковки ] [ Касающиеся окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Даны две монеты радиуса 1 см, две монеты радиуса 2 см и две монеты радиуса 3 см. Можно положить две из них на стол так, чтобы они касались друг друга, и добавлять монеты по одной так, чтобы очередная касалась хотя бы двух уже лежащих. Новую монету нельзя класть на старую. Можно ли положить несколько монет так, чтобы центры каких-то трёх монет оказались на одной прямой?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66335

Тема:   [ Задачи на проценты и отношения ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Аналитик сделал прогноз изменения курса доллара на каждый из трёх ближайших месяцев: на сколько процентов (число, большее 0% и меньшее 100%) изменится курс за июль, на сколько – за август, и на сколько – за сентябрь. Оказалось, что про каждый месяц он верно предсказал, на сколько процентов изменится курс, но ошибся с направлением изменения (то есть если он предсказывал, что курс увеличится на $x\%$, то курс падал на $x\%$, и наоборот). При этом через три месяца курс совпал с прогнозом. В какую сторону в итоге изменился курс?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66341

Тема:   [ Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Дан правильный шестиугольник с центром $O$. Провели шесть равных окружностей с центрами в вершинах шестиугольника так, что точка $O$ находится внутри окружностей. Угол величины α с вершиной $O$ высекает на этих окружностях шесть дуг. Докажите, что суммарная величина этих дуг равна 6α.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66342

Тема:   [ Задачи на проценты и отношения ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Аналитик сделал прогноз изменения курса доллара на каждый из 12 ближайших месяцев: на сколько процентов (число, большее 0% и меньшее 100%) изменится курс за октябрь, на сколько – за ноябрь, ..., на сколько – за сентябрь. Оказалось, что про каждый месяц он верно предсказал, на сколько процентов изменится курс, но ошибся с направлением изменения (то есть, если он предсказывал, что курс увеличится на $x$%, то курс падал на $x$%, и наоборот). При этом через 12 месяцев курс совпал с прогнозом. В какую сторону в итоге изменился курс?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66691

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Средняя линия треугольника ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Центр масс ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

На гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ отметили точку $K$, а на катете $AC$ – точку $L$ так, что  $AK = AC,  BK = LC$.  Отрезки $BL$ и $CK$ пересекаются в точке $M$. Докажите, что треугольник $CLM$ равнобедренный.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 103 104 105 106 107 108 109 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями