Страница:
<< 4 5 6 7 8 9
10 >> [Всего задач: 49]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Внутри параллелограмма $ABCD$ взята такая точка $P$, что ∠$PDA$ = ∠$PBA$. Пусть Ω – вневписанная окружность треугольника $PAB$, лежащая против вершины $A$, а ω – вписанная окружность треугольника $PCD$. Докажите, что одна из общих касательных к Ω и ω параллельна $AD$.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Клетчатый квадрат 2×2 накрыт двумя треугольниками. Обязательно ли
а) хоть одна из четырёх его клеток целиком накрыта одним из этих треугольников;
б) в один из этих треугольников можно поместить квадрат со стороной 1?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Дан клетчатый квадрат $n\times n$, где $n$ > 1. Кроссвордом будем называть любое непустое множество его клеток, а словом – любую горизонтальную и любую вертикальную полоску (клетчатый прямоугольник шириной в одну клетку), целиком состоящую из клеток кроссворда и не содержащуюся ни в какой большей полоске из клеток кроссворда (ни горизонтальной, ни вертикальной). Пусть $x$ – количество слов в кроссворде, $y$ – наименьшее количество слов, которыми можно покрыть кроссворд. Найдите максимум отношения $\frac{x}{y}$ при данном $n$.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10
|
Для турнира изготовили 7 золотых, 7 серебряных и 7 бронзовых медалей. Все медали из одного металла должны весить одинаково, а из разных должны иметь различные массы. Но одна из всех медалей оказалась нестандартной – имела неправильную массу. При этом нестандартная золотая медаль может весить только меньше стандартной золотой, бронзовая – только больше стандартной бронзовой, а серебряная может отличаться по весу от стандартной серебряной в любую сторону. Можно ли за три взвешивания на чашечных весах без гирь найти нестандартную медаль?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Дан неравнобедренный треугольник $ABC$. Выберем произвольную окружность ω, касающуюся описанной окружности Ω треугольника $ABC$ внутренним образом в точке $B$ и не пересекающую прямую $AC$. Отметим на ω точки $P$ и $Q$ так, чтобы прямые $AP$ и $CQ$ касались ω, а отрезки $AP$ и $CQ$ пересекались внутри треугольника $ABC$. Докажите, что все полученные таким образом прямые $PQ$ проходят через одну фиксированную точку, не зависящую от выбора окружности ω.
Страница:
<< 4 5 6 7 8 9
10 >> [Всего задач: 49]
Фильтр
Решение 
