Страница: << 116 117 118 119 120 121 122 >> [Всего задач: 1957]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78526

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10

Известно, что при любом целом  K ≠ 27  число  a – K¹⁹⁶⁴  делится без остатка на  27 – K. Найти a.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78535

Темы:   [ Симметричная стратегия ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На квадратном поле размерами 99×99, разграфленном на клетки размерами 1×1, играют двое. Первый игрок ставит крестик на центр поля; вслед за этим второй игрок может поставить нолик на любую из восьми клеток, окружающих крестик первого игрока. После этого первый ставит крестиктна любое из полей рядом с уже занятыми и т.д. Первый игрок выигрывает, если ему удастся поставить крестик на любую угловую клетку. Доказать, что при любой игре второго игрока первый всегда может выиграть.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78559

Темы:   [ Признаки делимости (прочее) ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Шестизначное число делится на 37 и имеет хотя бы две различные цифры. Его первая и четвёртая цифры – не нули.
Докажите, что, переставив цифры в данном числе, можно получить другое число, тоже кратное 37 и не начинающееся с нуля.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78560

Темы:   [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Теорема синусов ] [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Вспомогательная окружность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Концы отрезка постоянной длины скользят по сторонам данного угла. Из середины этого отрезка к нему восставлен перпендикуляр. Докажите, что отрезок перпендикуляра от его начала до точки пересечения с биссектрисой угла имеет постоянную длину.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78561

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Многочлены (прочее) ] [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

X – число, большее 2. Некто пишет на карточках числа:   1, X, X², X³, X⁴, ..., X^k (каждое число только на одной карточке). Потом часть карточек он кладёт себе в правый карман, часть   в левый, остальные выбрасывает. Докажите, что сумма чисел в правом кармане не может быть равна сумме чисел в левом.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 116 117 118 119 120 121 122 >> [Всего задач: 1957]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями