Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что при любом натуральном n  

   Решение

---

Из клетчатого прямоугольника 9×9 вырезали 16 клеток, у которых номера горизонталей и вертикалей чётные. Разрежьте оставшуюся фигуру на несколько клетчатых прямоугольников так, чтобы среди них было как можно меньше квадратиков 1×1.

   Решение

---

Из чисел  1, 2, 3, ..., 1985  выбрать наибольшее количество чисел так, чтобы разность любых двух выбранных чисел не была простым числом.

   Решение

---

В левый нижний угол шахматной доски 8×8 поставлено в форме квадрата 3×3 девять фишек. Фишка может прыгать на свободное поле через рядом стоящую фишку, то есть симметрично отражаться относительно её центра (прыгать можно по вертикали, горизонтали и диагонали). Можно ли за некоторое количество таких ходов поставить все фишки вновь в форме квадрата 3×3, но в другом углу:
  а) левом верхнем,
  б) правом верхнем?

   Решение

---

В выпуклом четырёхугольнике ABCD стороны равны соответственно:   AB = 10,  BC = 14,  CD = 11,  AD = 5.   Найдите угол между его диагоналями.

   Решение

---

Пусть a, b, c – длины сторон BC, AC, AB треугольника ABC,  γ = ∠C.  Докажите, что  c ≥ (a + b) sin ^γ/₂.

   Решение

Страница: << 60 61 62 63 64 65 66 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108606

Темы:   [ Неравенство треугольника ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Четырехугольник (неравенства) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

В прямоугольник вписан четырёхугольник (на каждой стороне прямоугольника по одной вершине четырёхугольника).
Докажите, что периметр четырёхугольника не меньше удвоенной диагонали прямоугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108607

Темы:   [ Перегруппировка площадей ] [ Шестиугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

В выпуклом шестиугольнике ABCDEF отрезки AB и CF, CD и BE, EF и AD попарно параллельны.
Докажите, что площади треугольников ACE и BFD равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108610

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ ГМТ и вписанный угол ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

В четырёхугольнике ABCD длины сторон AB и BC равны 1, ∠B = 100°, ∠D = 130°. Найдите BD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108611

Темы:   [ Неравенства для элементов треугольника. ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Пусть a, b, c – длины сторон BC, AC, AB треугольника ABC,  γ = ∠C.  Докажите, что  c ≥ (a + b) sin ^γ/₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108612

Темы:   [ Перегруппировка площадей ] [ Концентрические окружности ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Учитель продиктовал классу задание, которое каждый ученик выполнил в своей тетради. Вот это задание:

  Нарисуйте две концентрические окружности радиусов 1 и 10. К малой окружности проведите три касательные так, чтобы их точки пересечения A, B и C лежали внутри большой окружности. Измерьте площадь S треугольника ABC и площади S_A, S_B и S_C трёх образовавшихся криволинейных треугольников с вершинами в точках A, B и C. Найдите  S_A + S_B + S_C – S.

Докажите, что у всех учеников (если они правильно выполнили задание) получились одинаковые результаты.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 60 61 62 63 64 65 66 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями