ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи Пусть P(x) – квадратный трёхчлен с неотрицательными
коэффициентами.
Пусть M={x1, .., x30} – множество, состоящее из 30 различных положительных
чисел; An ( 1 Точки A , B , C и D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые AB и CD не пересекаются. Прямые, параллельные оси Ox, пересекают график функции y = ax³ + bx² + cx + d: первая – в точках A, D и E, вторая – в точках B, C и F (см. рис.). Докажите, что длина проекции дуги CD на ось Ox равна сумме длин проекций дуг AB и EF. Дан набор, состоящий из таких 100 различных чисел, что если каждое число в наборе заменить на сумму остальных, то получится тот же набор.
Найдите все пары чисел x,y Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда с основанием a×b и высотой c (a, b и c – натуральные числа) оклеена по клеточкам без наложений и пропусков прямоугольниками со сторонами, параллельными рёбрам параллелепипеда, каждый из которых состоит из чётного числа единичных квадратов. При этом разрешается перегибать прямоугольники через боковые ребра параллелепипеда. Докажите, что если c нечётно, то число способов оклейки чётно. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a , боковая грань образует с плоскостью основания угол 60o . Найдите высоту пирамиды. Найдите высоту правильного тетраэдра с ребром a . Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a , боковая грань образует с плоскостью основания угол 60o . Найдите объём пирамиды. Внутри параболы y = x² расположены несовпадающие окружности ω1, ω2, ω3, ... так, что при каждом n > 1 окружность ωn касается ветвей параболы и внешним образом окружности ωn–1 (см. рис.). Найдите радиус окружности σ1998, если известно, что диаметр ω1 равен 1 и она касается параболы в её вершине. В треугольнике ABC провели биссектрисы BB' и CC', а затем стёрли весь рисунок, кроме точек A, B' и C'. Найдите объём правильного тетраэдра с ребром, равным a . Девять одинаковых конфет стоят 11 рублей с копейками, а тринадцать таких конфет стоят 15 рублей с копейками. Сколько стоит одна конфета? На плоскости нарисовано некоторое семейство S правильных треугольников, получающихся друг из друга параллельными переносами, причем любые два треугольника пересекаются. Докажите, что найдутся три точки такие, что любой треугольник семейства S содержит хотя бы одну из них. |
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
В каждую клетку квадратной таблицы размера (2n – 1)×(2n – 1) ставится одно из чисел 1 или – 1. Расстановку чисел назовём удачной, если каждое число равно произведению всех соседних с ним (соседними считаются числа, стоящие в клетках с общей стороной). Найдите число удачных расстановок.
Прямые, параллельные оси Ox, пересекают график функции y = ax³ + bx² + cx + d: первая – в точках A, D и E, вторая – в точках B, C и F (см. рис.). Докажите, что длина проекции дуги CD на ось Ox равна сумме длин проекций дуг AB и EF.
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA, AB в точках A1, B1, C1 соответственно. Точки A2, B2, C2 – середины дуг BAC, CBA, ACB описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что прямые A1A2, B1B2 и C1C2 пересекаются в одной точке.
На плоскости нарисовано некоторое семейство S правильных треугольников, получающихся друг из друга параллельными переносами, причем любые два треугольника пересекаются. Докажите, что найдутся три точки такие, что любой треугольник семейства S содержит хотя бы одну из них.
В стране N 1998 городов, и из каждого осуществляются беспосадочные перелеты в три других города (все авиарейсы двусторонние). Известно, что из каждого города, сделав несколько пересадок, можно долететь до любого другого. Министерство Безопасности хочет объявить закрытыми 200 городов, никакие два из которых не соединены авиалинией. Докажите, что это можно сделать так, чтобы можно было долететь из каждого незакрытого города в любой другой, не делая пересадок в закрытых городах.
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке