Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что в пространстве существует такое расположение 2001 выпуклого многогранника, что никакие три из многогранников не имеют общих точек, а каждые два касаются друг друга (то есть имеют хотя бы одну граничную точку, но не имеют общих внутренних точек).

   Решение

---

Угол B при вершине равнобедренного треугольника ABC равен 120°. Из вершины B выпустили внутрь треугольника два луча под углом 60° друг к другу, которые, отразившись от основания AC в точках P и Q, попали на боковые стороны в точки M и N (см. рис.). Докажите, что площадь треугольника PBQ равна сумме площадей треугольников AMP и CNQ.

   Решение

Страница: << 317 318 319 320 321 322 323 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111356

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Квадрат со стороной 1 см разрезан на три выпуклых многоугольника. Может ли случиться, что диаметр каждого из них не превосходит
  а) 1 см;   б) 1,01 см;   в) 1,001 см?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111691

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

На столе лежат  N > 2  кучек по одному ореху в каждой. Двое ходят по очереди. За ход нужно выбрать две кучки, где числа орехов взаимно просты, и объединить эти кучки в одну. Выиграет тот, кто сделает последний ход. Для каждого N выясните, кто из играющих может всегда выигрывать, как бы ни играл его противник.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111915

Темы:   [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Угол B при вершине равнобедренного треугольника ABC равен 120°. Из вершины B выпустили внутрь треугольника два луча под углом 60° друг к другу, которые, отразившись от основания AC в точках P и Q, попали на боковые стороны в точки M и N (см. рис.). Докажите, что площадь треугольника PBQ равна сумме площадей треугольников AMP и CNQ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111922

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Сочетания и размещения ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Докажите, что при любых натуральных  0 < k < m < n  числа    и    не взаимно просты.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115624

Темы:   [ Поворот помогает решить задачу ] [ Правильные многоугольники ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема синусов ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Дан треугольник ABC, AA₁, BB₁ и CC₁ – его биссектрисы. Известно, что величины углов A, B и C относятся как  4 : 2 : 1.  Докажите, что  A₁B₁ = A₁C₁.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 317 318 319 320 321 322 323 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями