Страница: << 316 317 318 319 320 321 322 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108570

Темы:   [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Вневписанные окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

На основании AB равнобедренного треугольника ABC выбрана точка D так, что окружность, вписанная в треугольник BCD, имеет тот же радиус, что и окружность, касающаяся продолжений отрезков CA и CD и отрезка AD (вневписанная окружность треугольника ACD). Докажите, что этот радиус равен одной четверти высоты треугольника ABC, опущенной на его боковую сторону.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108605

Темы:   [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Векторы (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром O. Перпендикуляры, опущенные из точки O на стороны треугольника, продолжены до пересечения с окружностью в точках K, M и P. Докажите, что     где Q – центр вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109192

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Комбинаторная геометрия (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Обёрткой плоской картины размером 1×1 назовём прямоугольный лист бумаги площади 2, которым можно, не разрезая его, полностью обернуть картину с обеих сторон. Например, прямоугольник 2×1 и квадрат со стороной     – обёртки.
  а) Докажите, что есть и другие обёртки.
  б) Докажите, что обёрток бесконечно много.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109193

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Обыкновенные дроби ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Пусть   = ,  где    – несократимая дробь.
Докажите, что неравенство  b_n+1 < b_n выполнено для бесконечного числа натуральных n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109195

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

На сторонах BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что лучи A₁A, B₁B и С₁C являются биссектрисами углов треугольника A₁B₁C₁. Докажите, что AA₁, BB₁ и СС₁ – высоты треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 316 317 318 319 320 321 322 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями