Версия для печати
Убрать все задачи

---

Назовём пару  ($m, n$)  различных натуральных чисел $m$ и n хорошей, если $mn$ и  $(m + 1)(n + 1)$  – точные квадраты. Докажите, что для каждого натурального $m$ существует хотя бы одно такое  $n > m$,  что пара  ($m, n$)  хорошая.

   Решение

---

Многочлен  x³ + px² + qx + r  имеет на интервале  (0, 2)  три корня. Докажите, что  – 2 < p + q + r < 0.

   Решение

---

Правильный треугольник, лежащий в плоскости $\alpha$, ортогонально спроектировали на непараллельную ей плоскость $\beta$, полученный треугольник ортогонально спроектировали на плоскость $\gamma$ и получили снова правильный треугольник. Докажите, что
  а) угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равен углу между плоскостями $\beta$ и $\gamma$;
  б) плоскость $\beta$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\gamma$ по перпендикулярным друг другу прямым.

   Решение

---

Даны 11 гирь разного веса (одинаковых нет), каждая весит целое число граммов. Известно, что как ни разложить гири (все или часть) на две чаши, чтобы гирь на них было не поровну, всегда перевесит чаша, на которой гирь больше. Докажите, что хотя бы одна из гирь весит более 35 граммов.

   Решение

Страница: << 167 168 169 170 171 172 173 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116578

Темы:   [ Взвешивания ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Даны 11 гирь разного веса (одинаковых нет), каждая весит целое число граммов. Известно, что как ни разложить гири (все или часть) на две чаши, чтобы гирь на них было не поровну, всегда перевесит чаша, на которой гирь больше. Докажите, что хотя бы одна из гирь весит более 35 граммов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116674

Темы:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

На плоскости отмечены 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Саша разбивает точки на пары, после чего соединяет точки в каждой из пар отрезком. Всегда ли он может это сделать так, чтобы каждые два отрезка пересекались?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116678

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Площадь (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

На доске 8×8 стоят 8 не бьющих друг друга ладей. Все клетки доски распределяются во владения этих ладей по следующему правилу. Клетка, на которой стоит ладья, отдаётся этой ладье. Клетку, которую бьют две ладьи, получает та из ладей, которая ближе к этой клетке; если же эти две ладьи равноудалены от клетки, то каждая из них получает по полклетки. Докажите, что площади владений всех ладей одинаковы.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116681

Темы:   [ Взвешивания ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Имеются 100 камней разного веса (одинаковых нет), к каждому приклеена этикетка с указанием его веса. Хулиган Гриша хочет переклеить этикетки так, чтобы общий вес любого набора с числом камней от 1 до 99 отличался от суммы весов, указанных на этикетках из этого набора. Всегда ли он может это сделать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116691

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 10

В клетках таблицы n×n стоят плюсы и минусы. За один ход разрешается в произвольной строке или в произвольном столбце поменять все знаки на противоположные. Известно, что из начальной расстановки можно получить такую, при которой во всех ячейках стоят плюсы. Докажите, что этого можно добиться не более чем за n ходов.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 167 168 169 170 171 172 173 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями