- Вводные задачи (4 задачи)
- параграф 1. Касательные к окружностям (9 задач)
- параграф 2. Произведение длин отрезков хорд (6 задач)
- параграф 3. Касающиеся окружности (9 задач)
- параграф 4. Три окружности одного радиуса (3 задачи)
- параграф 5. Две касательные, проведенные из одной точки (7 задач)
- параграф 6. Применение теоремы о высотах треугольника (4 задачи)
- параграф 7. Площади криволинейных фигур (4 задачи)
- параграф 8. Окружности, вписанные в сегмент (8 задач)
- параграф 9. Разные задачи (3 задачи)
- параграф 10. Радикальная ось (22 задачи)
- параграф 11. Пучки окружностей (7 задач)
Фильтр
Выбрано 20 задач Убрать все задачи
а) В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1
и CC1. Прямые AB и A1B1, BC и B1C1, CA и C1A1
пересекаются в точках C', A' и B'. Докажите, что точки A', B'
и C' лежат на радикальной оси окружности девяти
точек и описанной окружности.
б) Биссектрисы внешних углов треугольника ABC пересекают
продолжения противоположных сторон в точках A', B'
и C'. Докажите, что точки A', B' и C' лежат на одной
прямой, причем эта прямая перпендикулярна прямой, соединяющей
центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
Докажите, что диагонали AD, BE и CF описанного
шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке (Брианшон).
Даны окружность S и прямая l, не имеющие общих
точек. Из точки P, движущейся по прямой l, проводятся
касательные PA и PB к окружности S. Докажите, что все
хорды AB имеют общую точку.
Некоторое количество точек расположено на плоскости так, что каждые 3 из них можно заключить в круг радиуса r = 1. Доказать, что тогда и все точки можно заключить в круг радиуса 1.
На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты
точки A1 и B1; l — прямая, проходящая через общие точки
окружностей с диаметрами AA1 и BB1. Докажите, что:
а) прямая l проходит через точку H пересечения высот
треугольника ABC;
б) прямая l тогда и только тогда проходит через точку C,
когда
AB1 : AC = BA1 : BC.
Докажите, что сумма двух нагелиан больше полупериметра треугольника.
Найти такие отличные от нуля неравные между собой целые числа a, b, c, чтобы выражение x(x – a)(x – b)(x – c) + 1 разлагалось в произведение двух многочленов (ненулевой степени) с целыми коэффициентами.
Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 16. Найдите высоту, проведённую из вершины прямого угла.
Решите задачу 1.67, используя свойства радикальной оси.
Все члены бесконечной арифметической прогрессии – натуральные числа. В каждом члене удалось подчеркнуть одну или несколько подряд идущих цифр так, что в первом члене оказалась подчёркнута цифра 1, во втором – 2,..., в 23-м – цифры 2 и 3 подряд, и так далее (для любого натурального n в n-м члене подчёркнутые цифры образовали число n). Докажите, что разность прогрессии – степень числа 10.
У равнобедренного треугольника стороны равны 3 и 7. Какая из сторон является основанием?
Сумма вычитаемого, уменьшаемого и разности равна 2016. Найдите уменьшаемое.
Даны две неконцентрические окружности S1 и S2.
Докажите, что множеством центров окружностей, пересекающих
обе эти окружности под прямым углом, является их
радикальная ось, из которой (если данные окружности
пересекаются) выброшена их общая хорда.
Пусть углы ,
,
таковы, что
0 <
,
,
<
и
+
+
=
. Докажите, что если композиция поворотов
RC2
oRB2
oRA2
является тождественным
преобразованием, то углы треугольника ABC равны
,
,
.
Пусть связный плоский граф с V вершинами и E рёбрами разрезает плоскость на F кусков. Докажите формулу Эйлера: V – E + F = 2.
Внутри выпуклого четырехугольника ABCD построены равнобедренные
прямоугольные треугольники ABO1, BCO2, CDO3
и DAO4. Докажите, что если O1 = O3, то O2 = O4.
При каких a многочлен P(x) = a³x5 + (1 – a)x4 + (1 + a³)x² + (1 – 3a)x – a³ делится на x – 1?
В ряд стоят 23 коробочки с шариками, причём для каждого числа n от 1 до 23 есть коробочка, в которой ровно n шариков. За одну операцию можно переложить в любую коробочку еще столько же шариков, сколько в ней уже есть, из какой-нибудь другой коробочки, в которой шариков больше. Всегда ли можно такими операциями добиться, чтобы в первой коробочке оказался 1 шарик, во второй – 2 шарика, ..., в 23-й – 23 шарика?
а) В графе есть эйлеров путь. Доказать, что граф связен и вершин с нечётной степенью в нём не больше двух.
б) Доказать обратное: если в связном графе вершин с нечётной степенью не больше двух, то в нём есть эйлеров путь.
Внутри выпуклого многоугольника расположено несколько
попарно непересекающихся кругов различных радиусов.
Докажите, что многоугольник можно разрезать на
маленькие многоугольники так, чтобы все они были выпуклыми
и в каждом из них содержался ровно один из данных кругов.
Задачи Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 86]
Задача 56723 (#03.060) |
|
|
Продолжения сторон AB и CD четырехугольника ABCD
пересекаются в точке F, а продолжения сторон BC
и AD — в точке E. Докажите, что окружности с диаметрами AC, BD
и EF имеют общую радикальную ось, причем на
ней лежат ортоцентры треугольников
ABE, CDE, ADF и BCF.
|
|
Решение |
Задача 56724 (#03.061) |
|
|
Три окружности попарно пересекаются в точках A1
и A2, B1 и B2, C1 и C2. Докажите, что
A1B2 . B1C2 . C1A2 = A2B1 . B2C1 . C2A1.
|
|
|
Решение |
Задача 56725 (#03.062) |
|
|
На стороне BC треугольника ABC взята точка A'.
Серединный перпендикуляр к отрезку A'B пересекает сторону AB
в точке M, а серединный перпендикуляр к отрезку A'C
пересекает сторону AC в точке N. Докажите, что точка,
симметричная точке A' относительно прямой MN, лежит на
описанной окружности треугольника ABC.
|
|
|
Решение |
Задача 56726 (#03.063) |
|
|
Решите задачу 1.67, используя свойства радикальной оси.
|
|
Решение |
Задача 56727 (#03.064) |
|
|
Внутри выпуклого многоугольника расположено несколько
попарно непересекающихся кругов различных радиусов.
Докажите, что многоугольник можно разрезать на
маленькие многоугольники так, чтобы все они были выпуклыми
и в каждом из них содержался ровно один из данных кругов.
|
|
|
Решение |
Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 86]
