Версия для печати
Убрать все задачи

---

Профессии членов семьи. В семье Семеновых 5 человек: муж, жена, их сын, сестра мужа и отец жены. Все они работают. Один — инженер, другой — юрист, третий — слесарь, четвертый — экономист, пятый — учитель. Вот что еще известно о них. Юрист и учитель не кровные родственники. Слесарь — хороший спортсмен. Он пошел по стопам экономиста и играет в футбол за сборную завода. Инженер старше жены своего брата, но моложе, чем учитель. Экономист старше, чем слесарь. Назовите профессии каждого члена семьи Семеновых.

   Решение

---

Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, длины высот — целые числа. Докажите, что треугольник правильный.

   Решение

---

Что больше 200! или 100²⁰⁰?

   Решение

---

Найти наибольшее значение, которое может принимать выражение  aek – afh + bfg – bdk + cdh – ceg,  если каждое из чисел a, b, c, d, e, f, g, h, k равно ±1.

   Решение

---

Определим последовательности чисел (x_n) и (d_n) условиями  x₁ = 1,  x_n+1 = [  ],  d_n = x_2n+1 – 2x_2n–1  (n ≥ 1).
Докажите, что число в двоичной системе счисления представляется в виде  (d₁,d₂d₃...)₂.

   Решение

---

На плоскости расположено N точек. Отметим середины всевозможных отрезков с концами в этих точках. Какое наименьшее число отмеченных точек может получиться?

   Решение

---

Пусть  z = e^2πi/n = cos ^2π/_n + i sin ^2π/_n.  Для произвольного целого a вычислите суммы
  а)  1 + z^a + z^2a + ... + z^(n–1)a;
  б)  1 + 2z^a + 3z^2a + ... + nz^(n–1)a.

   Решение

---

Две одинаковые шестерёнки имеют по 32 зубца. Их совместили и спилили одновременно 6 пар зубцов. Доказать, что одну шестерёнку можно повернуть относительно другой так, что в местах сломанных зубцов одной шестерёнки окажутся целые зубцы второй шестерёнки.

   Решение

---

Поезд двигался в одном направлении 5,5 часов. Известно, что за каждый отрезок времени длительностью 1 час он проезжал ровно 100 км. Можно ли утверждать, что:
  а) поезд ехал с постоянной скоростью?
  б) поезд проехал 550 км?

   Решение

---

Тройки чисел (x_n, y_n, z_n) (n 1) строятся по правилу: x₁ = 2, y₁ = 4, z₁ = 6/7,

а) Докажите, что указанный процесс построения троек может быть неограниченно продолжен.
б) Может ли на некотором шаге получится тройка чисел (x_n, y_n, z_n), для которой x_n + y_n + z_n = 0?

   Решение

---

Постройте треугольник по a, h_a и b/c.

   Решение

---

Докажите, что любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции растяжения (сжатия) и аффинного преобразования, переводящего любой треугольник в подобный ему треугольник.

   Решение

---

В Заитильщине 57 деревень, между некоторыми из которых проложены дороги. Известно, что из каждой деревни можно попасть в любую другую, притом по единственному маршруту.
  а) Докажите, что найдётся деревня, из которой выходит лишь одна дорога.
  б) Сколько дорог в Заитильщине?

   Решение

---

Докажите, что если  (m, 10) = 1,  то существует репьюнит E_n, делящийся на m. Будет ли их бесконечно много?

   Решение

---

Все углы выпуклого шестиугольника ABCDEF равны. Докажите, что  | BC - EF| = | DE - AB| = | AF - CD|.

   Решение

---

Найдите все целые решения уравнения  3x – 12y = 7.

   Решение

---

а) Докажите равенство:   cos φ + ... + cos nφ = ;
б) Вычислите сумму:   sinφ + ... + sin nφ.

   Решение

---

В январе некоторого года было четыре пятницы и четыре понедельника. Каким днем недели было 20-е число этого месяца?

   Решение

---

В остроугольном треугольнике ABC с углом A, равным  60^o, высоты пересекаются в точке H.
а) Пусть M и N — точки пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам BH и CH со сторонами AB и AC соответственно. Докажите, что точки M, N и H лежат на одной прямой.
б) Докажите, что на той же прямой лежит центр O описанной окружности.

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 176]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 56866  (#05.033B)

Тема:   [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

В треугольнике ABC проведены биссектрисы BB₁ и CC₁. Докажите, что если описанные окружности треугольников ABB₁ и ACC₁ пересекаются в точке, лежащей на стороне BC, то A = 60^o.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56867  (#05.032)

Темы:   [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

а) Докажите, что если угол A треугольника ABC равен  120^o, то центр описанной окружности и ортоцентр симметричны относительно биссектрисы внешнего угла A.
б) В треугольнике ABC угол A равен  60^o; O — центр описанной окружности, H — ортоцентр, I — центр вписанной окружности, а I_a — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC. Докажите, что IO = IH и I_aO = I_aH.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56868  (#05.033)

Тема:   [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В треугольнике ABC угол A равен  120^o. Докажите, что из отрезков длиной a, b, b + c можно составить треугольник.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56869  (#05.034)

Тема:   [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

В остроугольном треугольнике ABC с углом A, равным  60^o, высоты пересекаются в точке H.
а) Пусть M и N — точки пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам BH и CH со сторонами AB и AC соответственно. Докажите, что точки M, N и H лежат на одной прямой.
б) Докажите, что на той же прямой лежит центр O описанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56870  (#05.035)

Тема:   [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

В треугольнике ABC проведены биссектрисы BB₁ и CC₁. Докажите, что если  CC₁B₁ = 30^o, то либо  A = 60^o, либо  B = 120^o.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 176]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями