Каталог по источникам

Выбрано 17 задач

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а) sin² $\alpha$ + sin² $\beta$ + sin² $\gamma$ = (p² - r² - 4rR)/2R².
б) 4R²cos $\alpha$ cos $\beta$ cos $\gamma$ = p² - (2R + r)².

Решение

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а) cos( $\alpha$ /2)sin( $\beta$ /2)sin( $\gamma$ /2) = (p - a)/4R;
б) sin( $\alpha$ /2)cos( $\beta$ /2)cos( $\gamma$ /2) = r_a/4R.

Решение

а) ctg( $\alpha$ /2) + ctg( $\beta$ /2) + ctg( $\gamma$ /2) $\geq$ 3 $\sqrt{3}$ .
б) Для остроугольного треугольника

tg $\displaystyle \alpha$ + tg $\displaystyle \beta$ + tg $\displaystyle \gamma$ $\displaystyle \geq$ 3 $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Решение

а) sin $\alpha$ sin $\beta$ sin $\gamma$ $\leq$ 3 $\sqrt{3}$ /8;
б) cos( $\alpha$ /2)cos( $\beta$ /2)cos( $\gamma$ /2) $\leq$ 3 $\sqrt{3}$ /8.

Решение

Докажите тождество: 1^.2^.3 + 2^.3^.4 +...+ n(n + 1)(n + 2) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ n(n + 1)(n + 2)(n + 3).

Решение

Докажите, что любое движение второго рода является скользящей симметрией.

Решение

Докажите, что любое движение первого рода является поворотом или параллельным переносом.

Решение

Дан треугольник ABC. Докажите, что композиция симметрий S = S_ACoS_ABoS_BC является скользящей симметрией, для которой вектор переноса имеет длину 2R sin $\alpha$ sin $\beta$ sin $\gamma$ , где R — радиус описанной окружности, $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ — углы данного треугольника.

Решение

Даны окружность S, точка P, расположенная вне S, и прямая l, проходящая через P и пересекающая окружность в точках A и B. Точку пересечения касательных к окружности в точках A и B обозначим через K.
а) Рассмотрим всевозможные прямые, проходящие через P и пересекающие AK и BK в точках M и N. Докажите, что геометрическим местом точек пересечения отличных от AK и BK касательных к S, проведенных из точек M и N, является некоторая прямая, проходящая через K, из которой выкинуто ее пересечение с внутренностью S.
б) Будем на окружности разными способами выбирать точку R и проводить прямую, соединяющую отличные от R точки пересечения прямых RK и RP с S. Докажите, что все полученные прямые проходят через одну точку, и эта точка лежит на l.

Решение

Докажите, что

$\begin{multline*} h_a=2(p-a)\cos(\beta /2)\cos(\gamma /2)/\cos(\alpha /2)=\\ =2(p-b)\sin(\beta /2)\cos(\gamma /2)/\sin(\alpha /2). \end{multline*}$

Решение

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
tg $\alpha$ + tg $\beta$ + tg $\gamma$ = tg $\alpha$ tg $\beta$ tg $\gamma$ .

Решение

Доказать, что a²ⁿ⁺¹ + (a – 1)ⁿ⁺² делится на a² – a + 1 (a – целое, n – натуральное).

Решение

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а) sin( $\alpha$ /2)sin( $\beta$ /2)sin( $\gamma$ /2) = r/4R;
б) tg( $\alpha$ /2)tg( $\beta$ /2)tg( $\gamma$ /2) = r/p;
в) cos( $\alpha$ /2)cos( $\beta$ /2)cos( $\gamma$ /2) = p/4R.

Решение

a₁ = a₂ = 1, a_n+1 = a_na_n–1 + 1. Доказать, что a_n не делится на 4.

Решение

Факториальная система счисления. Докажите, что каждое натуральное число n может быть единственным образом представлено в виде

n = a₁^.1! + a₂^.2! + a₃^.3! +...,

где 0 $\leqslant$ a₁ $\leqslant$ 1, 0 $\leqslant$ a₂ $\leqslant$ 2, 0 $\leqslant$ a₃ $\leqslant$ 3...

Решение

Даны окружность S, прямая l, точка M, лежащая на S и не лежащая на l, и точка O, не лежащая на S. Рассмотрим преобразование P прямой l, являющееся композицией проектирования l на S из M, S на себя из O и S на l из M, т. е. P(A) — пересечение прямых l и MC, где C — отличная от B точка пересечения S с прямой OB, а B — отличная от A точка пересечения S с прямой MA. Докажите, что преобразование P проективно.

Решение

В этой задаче мы будем рассматривать наборы из n прямых общего положения, т. е. наборы, в которых никакие две прямые не параллельны и никакие три не проходят через одну точку.
Набору из двух прямых общего положения поставим в соответствие точку — их точку пересечения, а набору из трех прямых общего положения — окружность, проходящую через три точки пересечения. Если l₁, l₂, l₃, l₄ — четыре прямые общего положения, то четыре окружности S_i, соответствующие четырем тройкам прямых, получаемых отбрасыванием прямой l_i, проходят через одну точку (см. задачу 2.83, а)), которую мы и поставим в соответствие четверке прямых. Эту конструкцию можно продолжить.
а) Пусть l_i, i = 1,..., 5 — пять прямых общего положения. Докажите, что пять точек A_i, соответствующих четверкам прямых, получаемых отбрасыванием прямой l_i, лежат на одной окружности.
б) Докажите, что эту цепочку можно продолжить, поставив в соответствие каждому набору из n прямых общего положения точку при четном n и окружность при нечетном n, так, что n окружностей (точек), соответствующих наборам из n - 1 прямых, проходят через эту точку (лежат на этой окружности).

Решение

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]

Задача 58353 (#28.034)

Тема:

[

Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

На плоскости взяты шесть точек A₁, A₂, B₁, B₂, C₁, C₂. Докажите, что если окружности, описанные около треугольников A₁B₁C₁, A₁B₂C₂, A₂B₁C₂, A₂B₂C₁, проходят через одну точку, то и окружности, описанные около треугольников A₂B₂C₂, A₂B₁C₁, A₁B₂C₁, A₁B₁C₂, проходят через одну точку.

Прислать комментарий Решение

Задача 58354 (#28.035)

Темы:	[	Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 8-
Классы: 9,10,11

Задача 58355 (#28.036)

Темы:	[	Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 8-
Классы: 9,10,11

Пусть на двух пересекающихся прямых l₁ и l₂ выбраны точки M₁ и M₂, не совпадающие с точкой пересечения M этих прямых. Поставим в соответствие им окружность, проходящую через M₁, M₂ и M.
Если (l₁, M₁), (l₂, M₂), (l₃, M₃) — прямые с выбранными точками в общем положении, то согласно задаче 2.80, а) три окружности, соответствующие парам (l₁, M₁) и (l₂, M₂), (l₂, M₂) и (l₃, M₃), (l₃, M₃) и (l₁, M₁), пересекаются в одной точке, которую мы поставим в соответствие тройке прямых с точками.
а) Пусть l₁, l₂, l₃, l₄ — четыре прямые общего положения, на каждой из которых задано по точке, причем эти точки лежат на одной окружности. Докажите, что четыре точки, соответствующие тройкам, получаемым отбрасыванием одной из прямых, лежат на одной окружности.
б) Докажите, что каждому набору из n прямых общего положения с заданными на них точками, лежащими на одной окружности, можно поставить в соответствие точку (при нечетном n) или окружность (при четном n) так, что n окружностей (точек при четном n), соответствующих наборам из n - 1 прямых, проходят через эту точку (лежат на этой окружности при четном n).

Прислать комментарий Решение

Задача 58356 (#28.037)

Темы:	[	Цепочки окружностей. Теорема Фейербаха	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]

Сложность: 7+
Классы: 9,10,11

Окружности S₁, S₂,..., S_n касаются двух окружностей R₁ и R₂ и, кроме того, S₁ касается S₂ в точке A₁, S₂ касается S₃ в точке A₂..., S_{n - 1} касается S_n в точке A_{n - 1}. Докажите, что точки A₁, A₂,..., A_{n - 1} лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 58357 (#28.038)

Темы:	[	Цепочки окружностей. Теорема Фейербаха	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]

Сложность: 7+
Классы: 9,10,11

Докажите, что если существует цепочка окружностей S₁, S₂,..., S_n, каждая из которых касается двух соседних (S_n касается S_{n - 1} и S₁) и двух данных непересекающихся окружностей R₁ и R₂, то таких цепочек бесконечно много. А именно, для любой окружности T₁, касающейся R₁ и R₂ (одинаковым образом, если R₁ и R₂ не лежат одна в другой, внешним и внутренним образом в противном случае), существует аналогичная цепочка из n касающихся окружностей T₁, T₂,..., T_n (поризм Штейнера).

Прислать комментарий Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]