Каждая из двух сторон треугольника разделена на семь равных частей; соответствующие точки деления соединены отрезками.
Найдите эти отрезки, если третья сторона треугольника равна 28.

   Решение

Из центра симметрии двух равных пересекающихся окружностей проведены два луча, пересекающие окружности в четырех точках, не лежащих на одной прямой. Докажите, что эти точки лежат на одной окружности.

   Решение

Через точку на плоскости провели 10 прямых, после чего плоскость разрезали по этим прямым на углы.
Докажите, что хотя бы один из этих углов меньше 20°.

   Решение

В четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD относятся как 1:4 , а угол между ними равен 60^o . Чему равен больший из отрезков, соединяющих середины противоположных сторон четырёхугольника ABCD , если меньший равен ?

   Решение

По данному натуральному числу a₀ строится последовательность {a_n} следующим образом     если a_n нечётно, и ^a₀/₂, если a_n чётно. Докажите, что при любом нечётном  a₀ > 5  в последовательности {a_n} встретятся сколь угодно большие числа.

   Решение

Две равные окружности с центрами O₁ и O₂ пересекаются в точках A и B. Отрезок O₁O₂ пересекает эти окружности в точках M и N.
Докажите, что четырёхугольники O₁AO₂B и AMBN – ромбы.

   Решение

Точки K и L – середины диагоналей соответственно AC и BD выпуклого четырёхугольника ABCD . Прямая KL пересекает стороны AD и BC в точках X и Y соответственно. Описанная окружность треугольника AKX пересекает сторону AB в точке M . Докажите, что описанная окружность треугольника BLY тоже проходит через точку M .

   Решение

Биссектриса угла параллелограмма делит сторону параллелограмма на отрезки, равные a и b. Найдите стороны параллелограмма.

   Решение

Из точки M на плоскость α опущен перпендикуляр MH длины и проведены две наклонные, составляющие с перпендикуляром углы по 60^o . Угол между наклонными равен 120^o . а) Найдите расстояние между основаниями A и B наклонных. б) На отрезке AB как на катете в плоскости α построен прямоугольный треугольник ABC (угол A – прямой). Найдите объём пирамиды MABC , зная, что cos BMC = - .

   Решение

В магическом квадрате n×n, составленном из чисел 1, 2, ..., n², центры каждых двух клеток соединили вектором в направлении от большего числа к меньшему. Докажите, что сумма всех полученных векторов равна нулю. (Магическим называется клетчатый квадрат, в клетках которого записаны числа так, что суммы чисел во всех его строках и столбцах равны.)

   Решение

Володя бежит по круговой дистанции с постоянной скоростью. В двух точках дистанции стоит по фотографу. После старта Володя 2 минуты был ближе к первому фотографу, затем 3 минуты – ближе ко второму фотографу, а потом снова ближе к первому. За какое время Володя пробежал весь круг?

   Решение

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 1957]      

Все коэффициенты квадратного трёхчлена – нечётные целые числа. Докажите, что у него нет корней вида ¹/_n, где n – натуральное число.

Прислать комментарий

Решение

Квадратный трёхчлен f(x) = ax² + bx + c принимает в точках ¹/_a и c значения разных знаков.
Докажите, что корни трёхчлена  f(x) имеют разные знаки.

Прислать комментарий

Решение

Володя бежит по круговой дистанции с постоянной скоростью. В двух точках дистанции стоит по фотографу. После старта Володя 2 минуты был ближе к первому фотографу, затем 3 минуты – ближе ко второму фотографу, а потом снова ближе к первому. За какое время Володя пробежал весь круг?

Прислать комментарий

Решение

Внутри параллелограмма ABCD отметили точку E так, что  CD = CE.
Докажите, что прямая DE перпендикулярна прямой, проходящей через середины отрезков AE и BC.

Прислать комментарий

Решение

Можно ли число ¹/₁₀ представить в виде произведения десяти положительных правильных дробей?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 1957]