Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 189 190 191 192 193 194 195 >> [Всего задач: 1854]

Задача 65410

Темы:	[	Площадь и ортогональная проекция	]
	[	Параллелограмм Вариньона	]
	[	Малые шевеления	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Слободник С.Г.

Прямоугольная проекция треугольной пирамиды на некоторую плоскость имеет максимально возможную площадь.
Докажите, что эта плоскость параллельна либо одной из граней, либо двум скрещивающимся ребрам пирамиды.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65455

Тема:

[

Арифметика остатков (прочее)

]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Бакаев Е.В.

Трое играют в "камень-ножницы-бумагу". В каждом раунде каждый наугад показывает "камень", "ножницы" или "бумагу". "Камень" побеждает "ножницы", "ножницы" побеждают "бумагу", "бумага" побеждает "камень". Если в раунде было показано ровно два различных элемента (и значит, один из них показали дважды), то игроки (или игрок), показавшие победивший элемент, получают по 1 баллу; иначе баллы никому не начисляются. После нескольких раундов оказалось, что все элементы были показаны одинаковое количество раз. Докажите, что в этот момент сумма набранных всеми баллов делилась на 3.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65456

Темы:	[	Прямоугольные треугольники (прочее)	]
	[	Медиана, проведенная к гипотенузе	]
	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Бакаев Е.В.

На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC отметили точки K и L соответственно, а на гипотенузе AB – точку M так, что AK = BL = a,
KM = LM = b и угол KML прямой. Докажите, что a = b.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65459

Темы:	[	Прямоугольные треугольники (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Авторы: Бакаев Е.В., Зимин А.

Даны равнобедренный прямоугольный треугольник ABC и прямоугольный треугольник ABD с общей гипотенузой AB (D и C лежат по одну сторону от прямой AB). Пусть DK – биссектриса треугольника ABD. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ACK лежит на прямой AD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65460

Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Геометрическая прогрессия	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Жуков Г.

Дана бесконечно возрастающая арифметическая прогрессия. Первые её несколько членов сложили и сумму объявили первым членом новой последовательности, затем сложили следующие несколько членов исходной прогрессии и сумму объявили вторым членом новой последовательности, и так далее. Могла ли новая последовательность оказаться геометрической прогрессией?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 189 190 191 192 193 194 195 >> [Всего задач: 1854]