Каталог по источникам

Выбрано 13 задач

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность Ω с центром O, причём O не лежит на диагоналях четырёхугольника. Описанная окружность Ω₁ треугольника AOC проходит через середину диагонали BD. Докажите, что описанная окружность Ω₂ треугольника BOD проходит через середину диагонали AC.

Решение

Автор: Караваев Г.

В ряд стоят $9$ вертикальных столбиков. В некоторых местах между соседними столбиками вставлены горизонтальные палочки, никакие две из которых не находятся на одной высоте. Жук ползёт снизу вверх; когда он встречает палочку, он переползает по ней на соседний столбик и продолжает ползти вверх. Известно, что если жук начинает внизу первого столбика, то он закончит свой путь на девятом столбике. Всегда ли можно убрать одну из палочек так, чтобы жук в конце пути оказался наверху пятого столбика?

Например, если палочки расположены как на рисунке, то жук будет ползти по сплошной линии. Если убрать третью палочку на пути жука, то он поползёт по пунктирной линии.

Решение

Автор: Рубанов И.С.

Однажды барон Мюнхгаузен, вернувшись с прогулки, рассказал, что половину пути он шёл со скоростью 5 км/ч, а половину времени, затраченного на прогулку, – со скоростью 6 км/ч. Не ошибся ли барон?

Решение

Дано уравнение xⁿ – a₁x^n–1 – a₂x^n–2 – ... – a_n–1x – a_n = 0, где a₁ ≥ 0, a₂ ≥ 0, a_n ≥ 0.
Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.

Решение

а) Докажите, что расстояния от любой точки параболы до фокуса и до директрисы равны.
б) Докажите, что множество точек, для которых расстояния до некоторой фиксированной точки и до некоторой фиксированной прямой равны, является параболой.

Решение

Пусть f(x) – многочлен степени n с корнями α₁, ..., α_n. Определим многоугольник M как выпуклую оболочку точек α₁, ..., α_n на комплексной плоскости. Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри многоугольника M.

Решение

При каких p и q двучлен x⁴ + 1 делится на x² + px + q?

Решение

На плоскости дано n > 4 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что существует не менее различных выпуклых четырёхугольников с вершинами в этих точках.

Решение

В поход пошли 20 туристов. Самому старшему из них 35 лет, а самому младшему 20 лет. Верно ли, что среди туристов есть одногодки?

Решение

Автор: Пешнин А.

Учительница продиктовала Вовочке угловые коэффициенты и свободные члены трёх разных линейных функций, графики которых параллельны. Невнимательный Вовочка при записи каждой из функций поменял местами угловой коэффициент и свободный член и построил графики получившихся функций. Сколько могло получиться точек, через которые проходят хотя бы два графика?

Решение

В треугольнике ABC точка E — середина стороны BC, точка D лежит на стороне AC, AC = 1, $\angle$ BAC = 60^o, $\angle$ ABC = 100^o, $\angle$ ACB = 20^o и $\angle$ DEC = 80^o (рис.). Чему равна сумма площади треугольника ABC и удвоенной площади треугольника CDE?

Решение

Известно, что выражение 14x + 13y делится на 11 при некоторых целых x и y. Докажите, что 19x + 9y также делится на 11 при таких x и y.

Решение

Автор: Якубов А.

Прямая, проходящая через центр I вписанной окружности треугольника ABC, перпендикулярна AI и пересекает стороны AB и AC в точках C' и B' соответственно. В треугольниках BC'I и CB'I провели высоты C'C₁ и B'B₁ соответственно. Докажите, что середина отрезка B₁C₁ лежит на прямой, проходящей через точку I и перпендикулярной BC.

Решение

Задача 65647 (#1)

Задача 65648 (#2)

Задача 65649 (#3)

Задача 65650 (#4)

Задача 65651 (#5)