Версия для печати
Убрать все задачи

---

Квадрат разрезали 18 прямыми, из которых девять параллельны одной стороне квадрата, а девять – другой, на 100 прямоугольников. Оказалось, что ровно девять из них – квадраты. Докажите, что среди этих квадратов найдутся два равных между собой.

   Решение

---

В треугольнике ABC точки A', B', C' лежат на сторонах BC, CA и AB соответственно. Известно, что  ∠AC'B' = ∠B'A'C,  ∠CB'A' = ∠A'C'B,  ∠BA'C' = ∠C'B'A.  Докажите, что точки A', B', C' – середины сторон треугольника ABC.

   Решение

---

Найти число решений в натуральных числах уравнения   [^x/₁₀] = [^x/₁₁] + 1.

   Решение

---

Окружность, проходящая через вершину $B$ прямого угла и середину гипотенузы прямоугольного треугольника $ABC$, пересекает катеты этого треугольника в точках $M$ и $N$. Оказалось, что $AC = 2MN$. Докажите, что $M$ и $N$ — середины катетов треугольника $ABC$.

   Решение

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66711

Темы:   [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Окружность, проходящая через вершину $B$ прямого угла и середину гипотенузы прямоугольного треугольника $ABC$, пересекает катеты этого треугольника в точках $M$ и $N$. Оказалось, что $AC = 2MN$. Докажите, что $M$ и $N$ — середины катетов треугольника $ABC$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66712

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ Разложение на множители ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Найдите все натуральные $n$, удовлетворяющие условию: числа $1, 2, 3, \ldots, 2n$ можно разбить на пары так, что если сложить числа в каждой паре и результаты перемножить, получится квадрат натурального числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66716

Темы:   [ Пятиугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Можно ли внутри правильного пятиугольника разместить отрезок, который из всех вершин виден под одним и тем же углом?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66735

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Алгебра и арифметика (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

В ряд выписаны несколько натуральных чисел с суммой 20. Никакое число и никакая сумма нескольких подряд записанных чисел не равна 3. Могло ли быть выписано больше 10 чисел?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66742

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Описанные четырехугольники ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Докажите, что любой треугольник можно разрезать на 2019 четырёхугольников, каждый из которых одновременно вписанный и описанный.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями