Версия для печати
Убрать все задачи

---

Глеб задумал натуральные числа $N$ и $a$, где  $a < N$ . Число $a$ он написал на доске. Затем Глеб стал проделывать такую операцию: делить $N$ с остатком на последнее выписанное на доску число и полученный остаток от деления также записывать на доску. Когда на доске появилось число 0, он остановился. Мог ли Глеб изначально выбрать такие $N$ и $a$, чтобы сумма выписанных на доске чисел была больше 100$N$?

   Решение

Страница: << 328 329 330 331 332 333 334 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66709

Темы:   [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Касающиеся окружности ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Лучи $BA$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Прямая, проходящая через $P$ и параллельная касательной к окружности в точке $D$, пересекает в точках $U$ и $V$ касательные, проведённые к окружности в точках $A$ и $B$. Докажите, что окружности, описанные около треугольника $CUV$ и четырёхугольника $ABCD$, касаются.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66758

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ] [ Функция Эйлера ] [ Индукция в геометрии ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Рассмотрим на клетчатой плоскости такие ломаные с началом в точке (0, 0) и вершинами в целых точках, что каждое очередное звено идёт по сторонам клеток либо вверх, либо вправо. Каждой такой ломаной соответствует червяк – фигура, состоящая из клеток плоскости, имеющих хотя бы одну общую точку с этой ломаной. Докажите, что червяков, которые можно разбить на двуклеточные доминошки ровно  $n > 2$  различными способами, столько же, сколько натуральных чисел, меньших $n$ и взаимно простых с $n$. (Червяки разные, если состоят из разных наборов клеток.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66840

Темы:   [ Функция Эйлера ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Формула включения-исключения ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Некоторые из чисел 1, 2, 3, ..., $n$ покрашены в красный цвет так, что выполняется условие: если для красных чисел $a, b, c$ (не обязательно различных)  $a(b - c)$  делится на $n$, то  $b = c$.
Докажите, что красных чисел не больше чем φ($n$).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66857

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Последовательности (прочее) ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Глеб задумал натуральные числа $N$ и $a$, где  $a < N$ . Число $a$ он написал на доске. Затем Глеб стал проделывать такую операцию: делить $N$ с остатком на последнее выписанное на доску число и полученный остаток от деления также записывать на доску. Когда на доске появилось число 0, он остановился. Мог ли Глеб изначально выбрать такие $N$ и $a$, чтобы сумма выписанных на доске чисел была больше 100$N$?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66864

Темы:   [ Раскраски ] [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Для каких $k$ можно закрасить на белой клетчатой плоскости несколько (конечное число, большее нуля) клеток в чёрный цвет так, чтобы на любой клетчатой вертикали, горизонтали и диагонали либо было ровно $k$ чёрных клеток, либо вовсе не было чёрных клеток?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 328 329 330 331 332 333 334 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями