Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 328 329 330 331 332 333 334 >> [Всего задач: 1854]

Задача 66709

Темы:	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Лучи $BA$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Прямая, проходящая через $P$ и параллельная касательной к окружности в точке $D$, пересекает в точках $U$ и $V$ касательные, проведённые к окружности в точках $A$ и $B$. Докажите, что окружности, описанные около треугольника $CUV$ и четырёхугольника $ABCD$, касаются.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66758

Темы:	[	Замощения костями домино и плитками	]
	[	Функция Эйлера	]
	[	Индукция в геометрии	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Чанакчи И., Шиффлер Р.

Рассмотрим на клетчатой плоскости такие ломаные с началом в точке (0, 0) и вершинами в целых точках, что каждое очередное звено идёт по сторонам клеток либо вверх, либо вправо. Каждой такой ломаной соответствует червяк – фигура, состоящая из клеток плоскости, имеющих хотя бы одну общую точку с этой ломаной. Докажите, что червяков, которые можно разбить на двуклеточные доминошки ровно $n > 2$ различными способами, столько же, сколько натуральных чисел, меньших $n$ и взаимно простых с $n$. (Червяки разные, если состоят из разных наборов клеток.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 66840

Темы:	[	Функция Эйлера	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Формула включения-исключения	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Некоторые из чисел 1, 2, 3, ..., $n$ покрашены в красный цвет так, что выполняется условие: если для красных чисел $a, b, c$ (не обязательно различных) $a(b - c)$ делится на $n$, то $b = c$.
Докажите, что красных чисел не больше чем φ($n$).

Прислать комментарий

Решение

Задача 66857

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Последовательности (прочее)	]
	[	Числовые неравенства. Сравнения чисел.	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Митрофанов И.В.

Глеб задумал натуральные числа $N$ и $a$, где $a < N$ . Число $a$ он написал на доске. Затем Глеб стал проделывать такую операцию: делить $N$ с остатком на последнее выписанное на доску число и полученный остаток от деления также записывать на доску. Когда на доске появилось число 0, он остановился. Мог ли Глеб изначально выбрать такие $N$ и $a$, чтобы сумма выписанных на доске чисел была больше 100$N$?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66864

Темы:	[	Раскраски	]
Темы:	[	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Динев А., Гаров К., Белухов Н.

Для каких $k$ можно закрасить на белой клетчатой плоскости несколько (конечное число, большее нуля) клеток в чёрный цвет так, чтобы на любой клетчатой вертикали, горизонтали и диагонали либо было ровно $k$ чёрных клеток, либо вовсе не было чёрных клеток?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 328 329 330 331 332 333 334 >> [Всего задач: 1854]