Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 16 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Пусть a и n – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число  an + 1  простое, то a чётно и  n = 2k.
(Числа вида  fk = 22k + 1  называются числами Ферма.)

Вниз   Решение


Даны две непересекающиеся окружности с центрами в точках O1 и O2. Пусть a1 и a2 — внутренние касательные к этим окружностям, a3 и a4 — внешние касательные к ним. Пусть, далее, a5 и a6 — касательные к окружности с центром в O1, проведённые из точки O2, a7 и a8 — касательные к окружности с центром в точке O2, проведённые из точки O1. Обозначим через O точку пересечения a1 и a2. Доказать, что с центром в точке O можно провести две окружности так, чтобы первая касалась a3 и a4, вторая касалась a5, a6, a7, a8, причём радиус второй в два раза меньше радиуса первой.

ВверхВниз   Решение


К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.
Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы чётна.

ВверхВниз   Решение


Евклидово доказательство бесконечности множества простых чисел наводит на мысль определить рекуррентно числа Евклида:
e1 = 2,  en = e1e2...en–1 + 1  (n ≥ 2).  Все ли числа en являются простыми?

ВверхВниз   Решение


Можно ли множество всех натуральных чисел, больших 1, разбить на два непустых подмножества так, чтобы для каждых двух чисел a и b из одного множества число  ab – 1  принадлежало другому?

ВверхВниз   Решение


Докажите неравенство  pn+1 < p1p2...pn  (pkk-е простое число).

ВверхВниз   Решение


Дан квадрат со стороной 1. Найти геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до сторон этого квадрата или их продолжений равна 4.

ВверхВниз   Решение


В выпуклом четырёхугольнике ABCD нет параллельных сторон. Углы, образованные сторонами четырёхугольника с диагональю AC, равны (в каком-то порядке) 16°, 19°, 55° и 55°. Каким может быть острый угол между диагоналями AC и BD?

ВверхВниз   Решение


Дан 101 прямоугольник с целыми сторонами, не превышающими 100.
Докажите, что среди них найдутся три прямоугольника A, B, C, которые можно поместить друг в друга (так что  ABC).

ВверхВниз   Решение


В таблице из n столбцов и 2n строк, в которых выписаны все возможные различные наборы из n чисел 1 и –1, некоторые числа заменены нулями. Докажите, что можно выбрать некоторое непустое подмножество строк так, что:
  а) сумма всех чисел в выбранных строках равна 0;
  б) сумма всех выбранных строк есть нулевая строка.
(Строки складываются покоординатно как векторы.)

ВверхВниз   Решение


Автор: Звонкин Д.

На плоскости нарисованы два выпуклых многоугольника P и Q. Для каждой стороны многоугольника P многоугольник Q можно зажать между двумя прямыми, параллельными этой стороне. Обозначим через h расстояние между этими прямыми, а через l – длину стороны и вычислим произведение lh. Просуммировав такие произведения по всем сторонам P, получим некоторую величину  (P, Q).  Докажите, что  (P, Q) = (Q, P).

ВверхВниз   Решение


Звездолёт находится в полупространстве на расстоянии $a$ от его границы. Экипаж знает об этом, но не представляет, в каком направлении двигаться, чтобы достигнуть граничной плоскости. Звездолёт может лететь в пространстве по любой траектории, измеряя длину пройденного пути, и имеет датчик, подающий сигнал, когда граница достигнута. Может ли звездолёт гарантированно достигнуть границы, преодолев путь длиной

а) не более $14а$;

б) не более $13а$?

ВверхВниз   Решение


Периметр треугольника $ABC$ равен 1. Окружность $\omega$ касается стороны $BC$, продолжения стороны $AB$ в точке $P$ и продолжения стороны $AC$ в точке $Q$. Прямая, проходящая через середины $AB$ и $AC$, пересекает описанную окружность треугольника $APQ$ в точках $X$ и $Y$. Найдите длину отрезка $XY$.

ВверхВниз   Решение


По кругу стоят 99 детей, изначально у каждого есть мячик. Ежеминутно каждый ребёнок с мячиком кидает свой мячик одному из двух соседей; при этом, если два мячика попадают к одному ребёнку, то один из этих мячиков теряется безвозвратно. Через какое наименьшее время у детей может остаться только один мячик?

ВверхВниз   Решение


На доске написано несколько приведённых многочленов 37-й степени, все коэффициенты которых неотрицательны. Разрешается выбрать любые два выписанных многочлена  f и g и заменить их на такие два приведённых многочлена 37-й степени  f1 и g1, что  f + g = f1 + g1  или  fg = f1g1.  Докажите, что после применения любого конечного числа таких операций не может оказаться, что каждый многочлен на доске имеет 37 различных положительных корней.

ВверхВниз   Решение


Середины всех высот некоторого тетраэдра лежат на его вписанной сфере. Верно ли, что тетраэдр правильный?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 51]      



Задача 67165

Темы:   [ Разрезания (прочее) ]
[ Площадь (прочее) ]
[ Правильные многоугольники ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

У N друзей есть круглая пицца. Разрешается провести не более 100 прямолинейных разрезов, не перекладывая части до окончания разрезаний, после чего распределить все получившиеся кусочки между всеми друзьями так, чтобы каждый получил суммарно одну и ту же долю пиццы по площади. Найдутся ли такие разрезания, если а) N = 201; б) N = 400?
Прислать комментарий     Решение


Задача 67181

Темы:   [ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 5
Классы: 7,8,9

На сторонах равностороннего треугольника $ABC$ построены во внешнюю сторону треугольники $AB'C$, $CA'B$, $BC'A$ так, что получился шестиугольник $AB'CA'BC'$, в котором каждый из углов $A'BC'$, $C'AB'$, $B'CA'$ больше $120^\circ$, а для сторон выполняются равенства $AB'=AC'$, $BC'=BA'$, $CA'=CB'$. Докажите, что из отрезков $AB'$, $BC'$, $CA'$ можно составить треугольник.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67185

Темы:   [ Вневписанные окружности ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Периметр треугольника $ABC$ равен 1. Окружность $\omega$ касается стороны $BC$, продолжения стороны $AB$ в точке $P$ и продолжения стороны $AC$ в точке $Q$. Прямая, проходящая через середины $AB$ и $AC$, пересекает описанную окружность треугольника $APQ$ в точках $X$ и $Y$. Найдите длину отрезка $XY$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67187

Темы:   [ Разрезания (прочее) ]
[ Параллелограммы (прочее) ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Вспомогательная раскраска (прочее) ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Юран А.Ю.

Правильный 100-угольник разрезали на несколько параллелограммов и два треугольника. Докажите, что эти треугольники равны.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67199

Темы:   [ Равногранный тетраэдр ]
[ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Середины всех высот некоторого тетраэдра лежат на его вписанной сфере. Верно ли, что тетраэдр правильный?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 51]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .