Отрезок постоянной длины движется по плоскости так, что его концы скользят по сторонам прямого угла ABC. По какой траектории движется середина этого отрезка?

   Решение

Прямоугольник разбили двумя прямыми, параллельными его сторонам, на четыре прямоугольника. Один из них оказался квадратом, а периметры прямоугольников, соседних с ним, равны 20 см и 16 см. Найдите площадь исходного прямоугольника.

   Решение

Найдите m и n зная, что  

   Решение

Дано число 100...01; число нулей в нём равно 1961. Докажите, что это число – составное.

   Решение

Найдите наименьшее значение выражения а⁴ – а² – 2а.

   Решение

Четырехугольник ABCD выпуклый; точки  A₁, B₁, C₁ и D₁ таковы, что  AB||C₁D₁, AC||B₁D₁ и т. д. для всех пар вершин. Докажите, что четырехугольник  A₁B₁C₁D₁ тоже выпуклый, причем  A + C₁ = 180^o.

   Решение

Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямая AX пересекает описанную окружность в точке A₁. В сегмент, отсекаемый стороной BC, вписана окружность, касающаяся дуги BC в точке A₁, а стороны BC — в точке A₂. Точки B₂ и C₂ определяются аналогично. Докажите, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке.

   Решение

Для всех действительных x и y выполняется равенство  f(x² + y) = f(x) + f(y²).  Найдите  f(–1).

   Решение

a, b, c – такие три числа, что  a + b + c = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение  ab + ac + bc ≤ 0.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 1982]      

Доказать, что число, состоящее из 300 единиц и некоторого количества нулей, не является точным квадратом.

Прислать комментарий

Решение

Дано число 100...01; число нулей в нём равно 1961. Докажите, что это число – составное.

Прислать комментарий

Решение

a, b, c – такие три числа, что  a + b + c = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение  ab + ac + bc ≤ 0.

Прислать комментарий

Решение

Найти все натуральные числа x, обладающие следующим свойством: из каждой цифры числа x можно вычесть одну и ту же цифру  a ≠ 0  (все цифры его не меньше a) и при этом получится  (x − a)².

Прислать комментарий

Решение

На бесконечной шахматной доске на двух соседних по диагонали чёрных полях стоят две чёрные шашки. Можно ли дополнительно поставить на эту доску некоторое число чёрных шашек и одну белую таким образом, чтобы белая одним ходом взяла все чёрные шашки, включая две первоначально стоявшие?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 1982]