Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Годы:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Известно, что каждое из целых чисел a, b, c, d делится на  ab – cd.  Докажите, что  ab – cd  равно либо 1, либо –1.

Вниз   Решение


Доказать, что из любых 2001 целых чисел найдутся два, разность которых делится на 2000.

ВверхВниз   Решение


Система точек, соединённых отрезками, называется "связной", если из каждой точки можно пройти в любую другую по этим отрезкам. Можно ли соединить пять точек в связную систему так, чтобы при стирании любого отрезка образовались ровно две связные системы точек, не связанные друг с другом? (Мы считаем, что в местах пересечения отрезков переход с одного из них на другой невозможен.)

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 55 56 57 58 59 60 61 >> [Всего задач: 1957]      



Задача 78479

Тема:   [ Четырехугольник (неравенства) ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

Из любых четырёх точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно так выбрать три, что треугольник с вершинами в этих точках имеет хотя бы один угол, не больший 45o. Доказать. (Сравните с задачей 2 для 10 класса.)
Прислать комментарий     Решение


Задача 78484

Тема:   [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 3
Классы: 10

Дан произвольный треугольник ABC. Найти множество всех таких точек M, что перпендикуляры к прямым AM, BM, CM, проведённые из точек A, B, C (соответственно), пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78492

Темы:   [ Связность и разложение на связные компоненты ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 7,8

Система точек, соединённых отрезками, называется "связной", если из каждой точки можно пройти в любую другую по этим отрезкам. Можно ли соединить пять точек в связную систему так, чтобы при стирании любого отрезка образовались ровно две связные системы точек, не связанные друг с другом? (Мы считаем, что в местах пересечения отрезков переход с одного из них на другой невозможен.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 78502

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Доказать, что при нечётном n > 1 уравнение  xn + yn = zn  не может иметь решений в целых числах, для которых  x + y  – простое число.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78507

Темы:   [ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Доказать, что не существует попарно различных натуральных чисел x, y, z, t, для которых было бы справедливо соотношение  xx + yy = zz + tt.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 55 56 57 58 59 60 61 >> [Всего задач: 1957]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .