Версия для печати
Убрать все задачи

---

В равнобедренную трапецию с боковой стороной, равной 9, вписана окружность радиуса 4. Найдите площадь трапеции.

   Решение

---

Докажите, что отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC треугольника ABC как на диаметрах, лежит на прямой BC.

   Решение

---

На сторонах выпуклого четырёхугольника как на диаметрах построены четыре круга. Докажите, что они покрывают весь четырёхугольник.

   Решение

---

Имеется набор натуральных чисел, причём сумма любых семи из них меньше 15, а сумма всех чисел из набора равна 100.
Какое наименьшее количество чисел может быть в наборе?

   Решение

---

В треугольнике ABC проведены медианы AM и BP. Известно, что  ∠APB = ∠BMA,  cos∠ACB = 0,8,  BP = 1.  Найдите площадь треугольника ABC .

   Решение

---

Биссектрисы, проведённые из вершин A и B треугольника ABC, пересекаются в точке D. Найдите угол ADB, если:
  а)  ∠A = 50°,  ∠B = 100°;
  б)  ∠A = α,  ∠B = β;
  в)  ∠C = 130°;
  г)  ∠C = γ.

   Решение

---

В Чили в феврале проходил международный турнир по футболу. Первое место с 8 очками занял местный клуб "Коло-Коло". На очко отстало московское "Динамо" и заняло второе место. Третье место с 4 очками занял бразильский клуб "Коринтианс". Четвёртое место занял югославский клуб "Црвена Звезда", также набравший 4 очка. Доказать, что по этим данным можно точно определить, сколько ещё команд участвовало в турнире и по сколько очков они набрали. (За победу присуждается 2 очка, за ничью – 1, за поражение – 0.)

   Решение

Страница: << 120 121 122 123 124 125 126 >> [Всего задач: 1982]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78650

Темы:   [ Деление с остатком ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Число 4 обладает тем свойством, что при делении его на q² остаток получается меньше ^q²/₂, каково бы ни было q.
Перечислить все числа, обладающие этим свойством.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78652

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Простые числа и их свойства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Доказать, что для любых трёх чисел, меньших 1000000, найдётся число, меньшее 100 (но большее 1), взаимно простое с каждым из них.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78657

Тема:   [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Выбрать 100 чисел, удовлетворяющих условиям  x₁ = 1,  0 ≤ x₁ ≤ 2x₁,  0 ≤ x₃ ≤ 2x₂,  ...,  0 ≤ x₉₉ ≤ 2x₉₈,  0 ≤ x₁₀₀ ≤ 2x₉₉, так, чтобы выражение
x₁ – x₂ + x₃ – x₄ + ... + x₉₉ – x₁₀₀  было максимально.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78667

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Индукция (прочее) ] [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 11

По заданной последовательности положительных чисел  q₁,..., q_n, ...  строится последовательность многочленов следующим образом:
    f₀(x) = 1,
    f₁(x) = x,
      ...
    f_n+1(x) = (1 + q_n)xf_n(x) – q_nf_n–1(x).
Докажите, что все вещественные корни n-го многочлена заключены между –1 и 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78685

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

В таблице A размером 10×10 написаны какие-то числа. Обозначим сумму всех чисел в первой строке через s₁, во второй – через s₂ и т.д. Аналогично сумму чисел в первом столбце обозначим через t₁, во втором – t₂ и т.д. Составлена новая таблица B размером 10×10, в неё вписаны числа следующим образом: в первой клетке первой строки пишется наименьшее из чисел s₁ и t₁, в третьей клетке пятой строки пишется наименьшее из чисел s₅ и t₃, аналогично записана вся таблица. Оказалось, что можно так занумеровать клетки таблицы B числами от 1 до 100, что в клетке с k-м номером будет стоять число, меньшее или равное k. Какое максимальное значение может принимать при этих условиях сумма всех чисел таблицы A?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 120 121 122 123 124 125 126 >> [Всего задач: 1982]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями