Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 79286 (#1)

Темы:	[	Последовательности (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Лифшиц А.

Существует ли такая последовательность натуральных чисел, чтобы любое натуральное число 1, 2, 3, ... можно было представить единственным способом в виде разности двух чисел этой последовательности?

Прислать комментарий Решение

Задача 79291 (#2)

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Доказать, что в десятичной записи чисел 2ⁿ + 1974ⁿ и 1974ⁿ содержится одинаковое количество цифр.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79292 (#3)

Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Касательные к сферам	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Шарообразная планета окружена 37-ю точечными астероидами. Доказать, что в любой момент на поверхности планеты найдётся точка, из которой астроном не сможет наблюдать более 17 астероидов.

Примечание. Астероид, расположенный на линии горизонта, не виден.

Прислать комментарий Решение

Задача 79293 (#4)

Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Степень вершины	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Конягин С.В.

На конгресс собрались учёные, среди которых есть друзья. Оказалось, что каждые два из них, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Доказать, что найдётся учёный, который имеет ровно одного друга из числа участников конгресса.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79290 (#5)

Темы:	[	Замощения костями домино и плитками	]
	[	Вспомогательная раскраска	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

Автор: Климов А.В.

Прямоугольный лист бумаги размером a×b см разрезан на прямоугольные полоски, каждая из которых имеет сторону 1 см. Линии разрезов параллельны сторонам исходного листа. Доказать, что хотя бы одно из чисел a или b целое.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]