- осенний тур, 7-8 класс (7 задач)
- осенний тур, 9-10 класс (7 задач)
- весенний тур, тренировочный вариант, 7-8 класс (4 задачи)
- весенний тур, тренировочный вариант, 9-10 класс (6 задач)
- весенний тур, основной вариант, 7-8 класс (7 задач)
- весенний тур, основной вариант, 9-10 класс (6 задач)
Фильтр
Выбрано 20 задач Убрать все задачи
На полке в произвольном порядке стоят десять томов энциклопедии, пронумерованных от 1 до 10. Разрешается менять местами любые два тома, между которыми стоит не меньше четырёх других томов. Всегда ли можно расставить все тома по возрастанию номеров?
На клетчатой плоскости отметили 40 клеток. Всегда ли найдётся клетчатый прямоугольник, содержащий ровно 20 отмеченных клеток?
На уроке танцев 15 мальчиков и 15 девочек построили двумя параллельными колоннами, так что образовалось 15 пар. В каждой паре измерили разницу роста мальчика и девочки (разница берётся по абсолютной величине, то есть из большего вычитают меньшее). Максимальная разность оказалась 10 см. В другой раз перед образованием пар каждую колонну предварительно построили по росту. Докажите, что максимальная разность будет не больше 10 см.
a) Написаны 2007 натуральных чисел, больших 1. Докажите, что удастся зачеркнуть одно число так, чтобы произведение оставшихся можно было представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел.
б) Написаны 2007 натуральных чисел, больших 1, одно из которых равно 2006. Оказалось, что есть только одно такое число среди написанных, что произведение оставшихся представляется в виде разности квадратов двух натуральных чисел. Докажите, что это число – 2006.
В ящике лежат 100 шариков: белые, синие и красные. Известно, что если, не заглядывая в ящик, вытащить 26 шариков, то среди них обязательно найдутся 10 шариков одного цвета. Какое наименьшее число шариков нужно вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них наверняка нашлись 30 шариков одного цвета?
Существует ли натуральное число, которое можно представить в виде произведения двух палиндромов более чем 100 способами? (Палиндромом называется натуральное число, которое одинаково читается как слева направо, так и справа налево.)
Квадрат разрезали 18 прямыми, из которых девять параллельны одной стороне
квадрата, а девять – другой, на 100 прямоугольников. Оказалось, что ровно девять из них – квадраты. Докажите, что среди этих квадратов найдутся два равных между собой.
Существуют ли такие натуральные числа a1 < a2 < a3 < ... < a100, что НОД(a1, a2) > НОД(a2, a3) > ... > НОД(a99, a100)?
На кольцевой дороге через равные промежутки расположены 25 постов, на каждом стоит полицейский. Полицейские пронумерованы в каком-то порядке числами от 1 до 25. Требуется, чтобы они перешли по дороге так, чтобы снова на каждом посту был полицейский, но по часовой стрелке за номером 1 стоял номер 2, за номером 2 стоял номер 3, ..., за номером 25 стоял номер 1. Докажите, что если организовать переход так, чтобы суммарное пройденное расстояние было наименьшим, то кто-то из полицейских останется на своём посту.
Рассматриваются девятизначные числа, состоящие из неповторяющихся цифр от
1 до 9 в разном порядке. Пара таких чисел называется кондиционной, если их
сумма равна 987654321.
а) Доказать, что найдутся хотя бы две кондиционные пары ((a, b) и (b, a) – одна и та же пара).
б) Доказать, что кондиционных пар – нечётное число.
Пятиугольник $ABCDE$ описан около окружности. Углы при его вершинах $A$, $C$ и $E$ равны $100^\circ$. Найдите угол $ACE$.
Дана таблица (см. рис.).
Сколько различных таблиц можно получить таким образом из данной таблицы?
Наибольший общий делитель натуральных чисел a, b будем обозначать (a, b). Пусть натуральное число n таково, что
(n, n + 1) < (n, n + 2) < ... < (n, n + 35). Докажите, что (n, n + 35) < (n, n + 36).
На полях A, B и C в левом нижнем углу шахматной доски стоят белые ладьи (см. рис.). Разрешается делать ходы по обычным правилам, однако после любого хода каждая ладья должна быть под защитой какой-нибудь другой ладьи. Можно ли за несколько ходов переставить ладьи так, чтобы каждая попала на обозначенное той же буквой поле в правом верхнем углу?
На сторонах треугольника ABC построены три подобных треугольника: YBA и ZAC – во внешнюю сторону, а XBC – внутрь (соответственные вершины перечисляются в одинаковом порядке). Докажите, что AYXZ – параллелограмм.
Нарисуйте на клетчатой бумаге четырёхугольник с вершинами в узлах, длины сторон которого – различные простые числа.
100 идущих подряд натуральных чисел отсортировали по возрастанию суммы цифр, а числа с одинаковой суммой цифр – просто по возрастанию. Могли ли числа 2010 и 2011 оказаться рядом?
У Насти есть пять одинаковых с виду монет, среди которых три настоящие – весят одинаково – и две фальшивые: одна тяжелее настоящей, а вторая на столько же легче настоящей. Эксперт по просьбе Насти сделает на двухчашечных весах без гирь три взвешивания, которые она укажет, после чего сообщит Насте результаты. Может ли Настя выбрать взвешивания так, чтобы по их результатам гарантированно определить обе фальшивые монеты и указать, какая из них более тяжёлая, а какая более лёгкая?
Три окружности проходят через точку X. A, B, C – точки их пересечения, отличные от X. A' – вторая точка пересечения прямой AX и описанной окружности треугольника BCX. Точки B' и C' определяются аналогично. Докажите, что треугольники ABC', AB'C и A'BC подобны.
Решите систему уравнений:
(x3 + x4 + x5)5 = 3x1,
(x4 + x5 + x1)5 = 3x2,
(x5 + x1 + x2)5 = 3x3,
(x1 + x2 + x3)5 = 3x4,
(x2 + x3 + x4)5 = 3x5.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 36]
Задача 97948 |
|
|
В центре квадратного бассейна находится мальчик, а в вершине на берегу стоит учительница. Максимальная скорость мальчика в воде в три раза меньше максимальной скорости учительницы на суше. Учительница плавать не умеет, а на берегу мальчик бегает быстрее учительницы. Сможет ли мальчик убежать?
|
|
Решение |
Задача 97962 |
|
|
Среди десятизначных чисел каких больше: тех, которые можно представить как произведение двух пятизначных чисел, или тех, которые нельзя так представить?
|
|
|
Решение |
Задача 97964 |
|
|
a, b и c – целые числа. Докажите, что если a = b + c, то a4 + b4 + c4 есть удвоенный квадрат целого числа.
|
|
|
Решение |
Задача 97966 |
|
|
Решите систему уравнений:
(x3 + x4 + x5)5 = 3x1,
(x4 + x5 + x1)5 = 3x2,
(x5 + x1 + x2)5 = 3x3,
(x1 + x2 + x3)5 = 3x4,
(x2 + x3 + x4)5 = 3x5.
|
|
Решение |
Задача 108024 |
|
|
Дана выпуклая фигура, ограниченная дугой A окружности и ломаной ABC так, что дуга и ломаная лежат по разные стороны от хорды AC.
Через середину дуги AC проведите прямую, делящую площадь фигуры пополам.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 36]
