Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 269 270 271 272 273 274 275 >> [Всего задач: 1956]

Задача 57937 (#18.018)

Тема:

[

Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$

]

Сложность: 4
Классы: 9

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники ABC₁, AB₁C и A₁BC. Пусть P и Q — середины отрезков A₁B₁ и A₁C₁. Докажите, что треугольник APQ правильный.

Прислать комментарий Решение

Задача 57938 (#18.019)

Тема:

[

Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$

]

Сложность: 4
Классы: 9

На сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники ABC' и AB'C. Точка M делит сторону BC в отношении BM : MC = 3 : 1; K и L — середины сторон AC' и B'C. Докажите, что углы треугольника KLM равны 30^o, 60^o и 90^o.

Прислать комментарий Решение

Задача 57939 (#18.020)

Тема:

[

Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$

]

Сложность: 4
Классы: 9

Правильные треугольники ABC, CDE, EHK (вершины обходятся в направлении против часовой стрелки) расположены на плоскости так, что $\overrightarrow{AD}$ = $\overrightarrow{DK}$ . Докажите, что треугольник BHD тоже правильный.

Прислать комментарий Решение

Задача 57940 (#18.021)

Тема:

[

Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$

]

Сложность: 4+
Классы: 9

а) Для данного треугольника ABC, все углы которого меньше 120^o, найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.
б) Внутри треугольника ABC, все углы которого меньше 120^o, взята точка O, из которой его стороны видны под углом 120^o. Докажите, что сумма расстояний от точки O до вершин равна (a² + b² + c²)/2 + 2 $\sqrt{3}$ S.

Прислать комментарий Решение

Задача 57941 (#18.021.1)

[Теорема Помпею]

Тема:

[

Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$

]

Сложность: 6
Классы: 9

Даны точка X и правильный треугольник ABC. Докажите, что из отрезков XA, XB и XC можно составить треугольник, причем этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка X лежит на описанной окружности треугольника ABC (Помпею).

Прислать комментарий Решение

Страница: << 269 270 271 272 273 274 275 >> [Всего задач: 1956]