Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 363 364 365 366 367 368 369 >> [Всего задач: 1956]

Задача 58421 (#30.013)

Тема:

[

Проективные преобразования плоскости

]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Докажите, что если наряду с обычными точками и прямыми рассматривать бесконечно удаленные, то
а) через любые две точки проходит единственная прямая;
б) любые две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются в единственной точке;
в) центральное проектирование одной плоскости на другую является взаимно однозначным отображением.

Прислать комментарий Решение

Задача 58422 (#30.014)

Тема:

[

Проективные преобразования плоскости

]

Сложность: 6
Классы: 10,11

а) Докажите, что проективное преобразование P плоскости, переводящее бесконечно удаленную прямую в бесконечно удаленную прямую, является аффинным.
б) Докажите, что если точки A, B, C, D лежат па прямой, параллельной исключительной прямой проективного преобразования P плоскости $\alpha$ , то P(A)P(B) : P(C)P(D) = AB : CD.
в) Докажите, что если проективное преобразование P переводит параллельные прямые l₁ и l₂ в параллельные прямые, то либо P аффинно, либо его исключительная прямая параллельна прямым l₁ и l₂.
г) Пусть P — взаимно однозначное преобразование множества всех конечных и бесконечных точек плоскости, которое каждую прямую переводит в прямую. Докажите, что P проективно.

Прислать комментарий Решение

Задача 58423 (#30.015)

Тема:

[

Проективные преобразования плоскости

]

Сложность: 7
Классы: 10,11

Даны точки A, B, C, D, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и точки A₁, B₁, C₁, D₁, удовлетворяющие тому же условию.
а) Докажите, что существует проективное преобразование, переводящее точки A, B, C, D соответственно в точки A₁, B₁, C₁, D₁.
б) Докажите, что преобразование задачи а) единственно, т. е. проективное преобразование плоскости определяется образами четырех точек в общем положении (ср. с задачей 30.4).
в) Докажите утверждение задачи а), если точки A, B, C лежат на одной прямой l, а точки A₁, B₁, C₁ — на одной прямой l₁.
г) Единственно ли преобразование задачи в)?

Прислать комментарий Решение

Задача 58424 (#30.016)

Тема:

[

Проективные преобразования плоскости

]

Сложность: 7
Классы: 10,11

а) Докажите, что существует проективное преобразование, которое данную окружность переводит в окружность, а данную точку, лежащую внутри окружности, переводит в центр образа.
б) Докажите, что если проективное преобразование переводит данную окружность в окружность, а точку M — в ее центр, то исключительная прямая перпендикулярна диаметру, проходящему через M.

Прислать комментарий Решение

Задача 58425 (#30.017)

Тема:

[

Проективные преобразования плоскости

]

Сложность: 7
Классы: 10,11

На плоскости дана окружность и не пересекающая ее прямая. Докажите, что существует проективное преобразование, переводящее данную окружность в окружность, а данную прямую — в бесконечно удаленную прямую.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 363 364 365 366 367 368 369 >> [Всего задач: 1956]