Страница:
<< 45 46 47 48
49 50 51 >> [Всего задач: 470]
Задача
73804
(#М269)
[Числа Стирлинга]
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
Обозначим через Tk(n) сумму произведений по k чисел от 1 до n. Например, T2(4) = 1·2 + 1·3 + 1·4 + 2·3 + 2·4 + 3·4.
а) Найдите формулы для T2(n) и T3(n).
б) Докажите, что Tk(n) является многочленом от n степени 2k.
в) Укажите метод нахождения многочленов Tk(n) при k = 2, 3, 4, ... и примените его для отыскания многочленов T4(n) и T5(n).
Задача
73806
(#М271)
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
Для всякого ли натурального n можно расставить первые n натуральных чисел в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, расположенных между ними?
Задача
73808
(#М273)
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
На отрезке [0; 1] задана
функция f. Эта функция во всех точках неотрицательна,
f(1) = 1, наконец, для любых двух неотрицательных чисел
x1 и
x2, сумма которых не
превосходит 1, величина
f (x1 + x2) не превосходит суммы величин
f(x1) и
f(x2).
а) Докажите для любого числа x отрезка [0; 1] неравенство f(x2) ≤ 2x.
б) Для любого ли числа х отрезка [0; 1] должно быть верно неравенство f(x2) ≤ 1,9x?
Задача
73809
(#М274)
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
Найдите наименьшее число вида а) |11k – 5n|; б) |36k – 5n|; в) |53k – 37n|, где k и n – натуральные числа.
Задача
73810
(#М275)
|
|
Сложность: 9
Классы: 9,10,11
|
а) На плоскости даны
n векторов, длина каждого из которых
равна 1. Сумма всех
n векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех
k = 1, 2, ...,
n выполнялось следующее условие: длина суммы первых
k векторов не
превышает 3.
б) Докажите аналогичное утверждение для n векторов с суммой 0, длина каждого из которых не превосходит 1.
в) Можно ли заменить число 3 в пункте а) меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в пункте б).
Страница:
<< 45 46 47 48
49 50 51 >> [Всего задач: 470]
Фильтр
