Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Годы:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 8 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

В остроугольном треугольнике ABC проведена биссектриса AL. На продолжении отрезка LA за точку A выбрана точка K так, что AK=AL. Описанные окружности треугольников BLK и CLK пересекают отрезки AC и AB в точках P и Q соответственно. Докажите, что прямые PQ и BC параллельны.

Вниз   Решение


AA1 и BB1 – высоты остроугольного треугольника ABC. Докажите, что:
  а) треугольник AA1C подобен треугольнику BB1C;
  б) треугольник ABC подобен треугольнику A1B1C.
  в) Найдите коэффициент подобия треугольников A1B1C и ABC, если  ∠C = γ.

ВверхВниз   Решение


Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1.

ВверхВниз   Решение


Известно, что первый, десятый и сотый члены геометрической прогрессии являются натуральными числами. Верно ли, что 99-ый член этой прогрессии также является натуральным числом?

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC  AB = BC = 6.  На стороне AB как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону BC в точке D так, что  BD : DC = 2 : 1.
Найдите AC.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что 1/22+1/32+1/42+…+1/n2<1

ВверхВниз   Решение


Коллекция Саши состоит из монет и наклеек, причём монет меньше, чем наклеек, но хотя бы одна есть. Саша выбрал некоторое положительное число t>1 (не обязательно целое). Если он увеличит количество монет в t раз, не меняя количества наклеек, то в его коллекции будет 100 предметов. Если вместо этого он увеличит количество наклеек в t раз, не меняя количества монет, то у него будет 101 предмет. Сколько наклеек могло быть у Саши? Найдите все возможные ответы и докажите, что других нет.

ВверхВниз   Решение


В коллекции Алика есть два типа предметов: значки и браслеты. Значков больше, чем браслетов. Алик заметил, что если он увеличит количество браслетов в некоторое (не обязательно целое) число раз, не изменив количества значков, то в его коллекции будет 100 предметов. А если, наоборот, он увеличит в это же число раз первоначальное количество значков, оставив прежним количество браслетов, то у него будет 101 предмет. Сколько значков и сколько браслетов могло быть в коллекции Алика?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 215 216 217 218 219 220 221 >> [Всего задач: 1957]      



Задача 78567

Темы:   [ Подсчет двумя способами ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Даны двадцать карточек. Каждая из цифр от нуля до девяти включительно написана на двух из этих карточек (на каждой карточке – только одна цифра). Можно ли расположить эти карточки в ряд так, чтобы нули стояли рядом, между единицами лежала ровно одна карточка, между двойками – две, и так далее до девяток, между которыми должно быть девять карточек?

Прислать комментарий     Решение

Задача 78569

Темы:   [ Целочисленные решетки (прочее) ]
[ Процессы и операции ]
[ Композиции симметрий ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Дан прямоугольный биллиард размером 26×1965 (сторона длины 1965 направлена слева направо, а сторона длины 26 – сверху вниз; лузы расположены в вершинах прямоугольника). Из нижней левой лузы под углом 45° к бортам выпускается шар. Доказать, что после нескольких отражений от бортов он упадет в верхнюю левую лузу. (Угол падения равен углу отражения.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 78581

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите, что последние цифры чисел nn (n – натуральное) образуют периодическую последовательность.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78584

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

В каждой клетке квадратной таблицы m×m клеток стоит либо натуральное число, либо нуль. При этом, если на пересечении строки и столбца стоит нуль, то сумма чисел в "кресте", состоящем из этой строки и этого столбца, не меньше m. Докажите, что сумма всех чисел в таблице не меньше чем  ½ m².

Прислать комментарий     Решение

Задача 78591

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Периодичность и непериодичность ]
[ Китайская теорема об остатках ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Доказать, что те натуральные K, для которых  KK + 1  делится на 30, образуют арифметическую прогрессию. Найти её.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 215 216 217 218 219 220 221 >> [Всего задач: 1957]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .