Страница: << 229 230 231 232 233 234 235 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 79437

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Разложение на множители ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Доказать, что  1¹⁹⁸³ + 2¹⁹⁸³ + ... + 1983¹⁹⁸³  делится на  1 + ... + 1983.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79443

Темы:   [ Подсчет двумя способами ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

За круглым столом сидят 13 богатырей из k городов, где  1 < k < 13.  Каждый богатырь держит в руке золотой или серебряный кубок, причём золотых кубков тоже k. Князь повелел каждому богатырю передать свой кубок соседу справа и повторять это до тех пор, пока какие-нибудь два богатыря из одного города оба не получат золотые кубки. Доказать, что желание князя всегда будет исполнено.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79475

Темы:   [ Последовательности (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Частичные, верхние и нижние пределы ]

Сложность: 4- Классы: 9

За дядькой Черномором выстроилось чередой бесконечное число богатырей. Доказать, что он может приказать части из них выйти из строя так, чтобы в строю осталось бесконечно много богатырей и все они стояли по росту (не обязательно в порядке убывания роста).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79479

Темы:   [ Подсчет двумя способами ] [ Доказательство от противного ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 4- Классы: 10

Доказать, что в любой группе из 12 человек можно выбрать двоих, а среди оставшихся 10 человек еще пятерых так, чтобы каждый из этих пятерых удовлетворял следующему условию: либо он дружит с обоими выбранными вначале, либо не дружит ни с одним из них.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79480

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Индукция (прочее) ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4- Классы: 10

Доказать, что любое число 2ⁿ, где  n = 3, 4, 5, ...  можно представить в виде  7x² + y²,  где x и y – нечётные числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 229 230 231 232 233 234 235 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями