Страница: << 264 265 266 267 268 269 270 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67447

Тема:   [ Алгебра и арифметика (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

По кругу стоят 50 чисел (необязательно целых). Известно, что произведение любых 25 чисел отличается от произведения 25 остальных не более чем на 2. Докажите, что какие-то два соседних числа отличаются не более чем на 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67448

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10,11

Правильный треугольник разрезан на треугольники, каждый из которых либо прямоугольный, либо равнобедренный. Все прямоугольные треугольники равны друг другу, все равнобедренные – тоже. Обязательно ли все углы равнобедренных треугольников кратны $30^\circ$?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67452

Темы:   [ Раскраски ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10,11

Каждая клетка квадрата $100\times 100$ покрашена либо в белый, либо в чёрный цвет. Оказалось, что у каждой белой клетки ровно две соседних с ней по стороне клетки покрашены в белый цвет, а у каждой чёрной клетки ровно две соседних с ней по стороне клетки покрашены в чёрный цвет. Найдите максимальное возможное количество чёрных клеток.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67456

Тема:   [ Теория графов (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

В Камелот съехались $100$ рыцарей Круглого Стола, любые два из которых либо дружат, либо враждуют (дружба и вражда взаимны). Фея Моргана может выбрать любого рыцаря и сделать так, что он поссорится со всеми своими друзьями и при этом подружится со всеми своими врагами. Накладывать это заклинание Моргана может сколько угодно раз. Докажите, что она сможет добиться того, чтобы в итоге образовались такие две группы по $5$ рыцарей, что каждый рыцарь из первой пятёрки будет враждовать с каждым рыцарем из второй.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67457

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Теорема Эйлера ] [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Существуют ли такие натуральные числа $m$ и $n$ и такой многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами, что $f(m)$ не делится на $n$, но $f(p^k)$ делится на $n$ для любого простого числа $p$ и любого натурального $k$?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 264 265 266 267 268 269 270 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями