Страница: << 261 262 263 264 265 266 267 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67027

Темы:   [ Последовательности (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Андрей Михайлович выписал на доску все возможные последовательности длины $2022$, состоящие из 1011 нулей и 1011 единиц. Назовём две последовательности совместимыми, если они совпадают ровно в 4 позициях. Докажите, что Андрей Михайлович может разбить все последовательности на 20 групп так, чтобы никакие две совместимые последовательности не попали в одну группу.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67031

Темы:   [ Максимальное/минимальное расстояние ] [ Стереометрия (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Звездолёт находится в полупространстве на расстоянии $a$ от его границы. Экипаж знает об этом, но не представляет, в каком направлении двигаться, чтобы достигнуть граничной плоскости. Звездолёт может лететь в пространстве по любой траектории, измеряя длину пройденного пути, и имеет датчик, подающий сигнал, когда граница достигнута. Может ли звездолёт гарантированно достигнуть границы, преодолев путь длиной не более $14a$?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67179

Темы:   [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Средняя линия треугольника ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом $30$ градусов одна биссектриса в два раза короче другой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67180

Тема:   [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Назовём натуральное число хорошим, если в его десятичной записи есть только нули и единицы. Пусть произведение двух хороших чисел оказалось хорошим числом. Правда ли, что тогда сумма цифр произведения равна произведению сумм цифр сомножителей?

(В 44-м Турнире городов задача предлагалась в эквивалентной формулировке: хорошие числа были названы заурядными)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67184

Тема:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Даны две последовательности из букв А и Б, в каждой из которых по 100 букв. За одну операцию разрешается вставить в какое-то место последовательности (возможно, в начало или в конец) одну или несколько одинаковых букв или убрать из последовательности одну или несколько подряд идущих одинаковых букв. Докажите, что из первой последовательности можно получить вторую не более чем за 100 операций.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 261 262 263 264 265 266 267 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями