Страница: << 258 259 260 261 262 263 264 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66577

Темы:   [ Треугольники (прочее) ] [ Планиметрия (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На стороне $AC$ треугольника $ABC$ взяли такую точку $D$, что угол $BDC$ равен углу $ABC$. Чему равно наименьшее возможное расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $ABD$, если $BC = 1$?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66583

Темы:   [ Взвешивания ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

В каждом из $16$ отделений коробки $4\times 4$ лежит по золотой монете. Коллекционер помнит, что какие-то две лежащие рядом монеты (соседние по стороне) весят по $9$ грамм, а остальные по $10$ грамм. За какое наименьшее число взвешиваний на весах, показывающих общий вес в граммах, можно определить эти две монеты?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66589

Тема:   [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

В ряд лежат $100N$ бутербродов, каждый с колбасой и сыром. Дядя Федор и кот Матроскин играют в игру. Дядя Федор за одно действие съедает один бутерброд с одного из краев. Кот Матроскин за одно действие может стянуть колбасу с одного бутерброда (а может ничего не делать). Дядя Федор каждый ход делает по $100$ действий подряд, а кот Матроскин делает только $1$ действие; дядя Федор ходит первым, кот Матроскин вторым, далее ходы чередуются до тех пор, пока дядя Федор не доест все бутерброды. Дядя Федор выигрывает, если последний съеденный им бутерброд был с колбасой. Верно ли, что при каждом натуральном $N$ он сможет выиграть независимо от ходов кота Матроскина?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66593

Темы:   [ Индукция (прочее) ] [ Теория алгоритмов (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Есть бесконечная в одну сторону клетчатая полоска, клетки которой пронумерованы натуральными числами, и мешок с десятью камнями. В клетках полоски камней изначально нет. Можно делать следующее:

– перемещать камень из мешка в первую клетку полоски или обратно;

– если в клетке с номером $i$ лежит камень, то можно переложить камень из мешка в клетку с номером $i + 1$ или обратно.

Можно ли, действуя по этим правилам, положить камень в клетку с номером 1000?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66594

Темы:   [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Внутри четырехугольника $ABCD$ взяли точку $P$. Прямые $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $X$. Оказалось, что прямая $XP$ является внешней биссектрисой углов $APD$ и $BPC$. Пусть $PY$ и $PZ$ – биссектрисы треугольников $APB$ и $DPC$. Докажите, что точки $X$, $Y$ и $Z$ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 258 259 260 261 262 263 264 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями