Страница: << 257 258 259 260 261 262 263 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66560

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Индукция (прочее) ] [ Комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

К Ивану на день рождения пришли $3 n$ гостей. У Ивана есть $3 n$ цилиндров с написанными сверху буквами А, Б и В, по $n$ штук каждого типа. Иван хочет устроить бал: надеть на гостей цилиндры и выстроить их в хороводы (один или больше) так, чтобы длина каждого хоровода делилась на $3$, а при взгляде на любой хоровод сверху читалось бы по часовой стрелке АБВАБВ...АБВ. Докажите, что Иван может устроить бал ровно $(3n)!$ различными способами. (Цилиндры с одинаковыми буквами неразличимы; все гости различны.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66565

Тема:   [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к $BC$ пересекает $AB$ и $AC$ в точках $X$ и $Y$. Прямая $AO$ пересекает прямую $BC$ в точке $D$, $M$ — середина $BC$. Описанная окружность треугольника $ADM$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $E$, отличной от $A$. Докажите, что прямая $OE$ касается описанной окружности треугольника $AXY$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66566

Темы:   [ Полуинварианты ] [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На доске написаны $1000$ последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на их сумму и разность (не обязательно вычитать из большего меньшее; все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся $1000$ последовательных целых чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66572

Темы:   [ Стереометрия (прочее) ] [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ] [ Сечения, развертки и остовы (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Существует ли тетраэдр, в сечениях которого двумя разными плоскостями получаются квадраты $100\times100$ и $1\times1$?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66573

Темы:   [ Числовые последовательности (прочее) ] [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На доске написаны $2n$ последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на сумму и разность чисел этой пары (не обязательно вычитать из большего числа меньшее; все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся $2n$ последовательных чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 257 258 259 260 261 262 263 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями