Страница: << 256 257 258 259 260 261 262 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66534

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10

В клетках квадратной таблицы n × n, где n > 1, требуется расставить различные целые числа от 1 до n² так, чтобы каждые два последовательных числа оказались в соседних по стороне клетках, а каждые два числа, дающие одинаковые остатки при делении на n, – в разных строках и в разных столбцах. При каких n это возможно?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66537

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Алгебра и арифметика (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10

Каждый отрезок с концами в вершинах правильного 100-угольника покрасили – в красный цвет, если между его концами четное число вершин, и в синий – в противном случае (в частности, все стороны 100-угольника красные). В вершинах расставили числа, сумма квадратов которых равна 1, а на отрезках – произведения чисел в концах. Затем из суммы чисел на красных отрезках вычли сумму чисел на синих. Какое наибольшее число могло получиться?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66538

Тема:   [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Биссектриса угла ABC пересекает описанную окружность w треугольника ABC в точках B и L. Точка M – середина отрезка AC. На дуге ABC окружности w выбрана точка E так, что EM ∥ BL. Прямые AB и BC пересекают прямую EL в точках P и Q соответственно. Докажите, что PE = EQ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66553

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Принцип Дирихле ]

Сложность: 4 Классы: 8

В турнире по гандболу участвуют 20 команд. После того как каждая команда сыграла с каждой по разу, оказалось, что количество очков у всех команд разное. После того как каждая команда сыграла с каждой по второму разу, количество очков у всех команд стало одинаковым. В гандболе за победу команда получает 2 очка, за ничью 1 очко, за поражение — 0 очков. Верно ли, что найдутся две команды, по разу выигравшие друг у друга?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66559

Тема:   [ Треугольники (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В остроугольном треугольнике $ABC$ ($AB$<$BC$) провели высоту $BH$. Точка $P$ симметрична точке $H$ относительно прямой, соединяющей середины сторон $AC$ и $BC$. Докажите, что прямая $BP$ содержит центр описанной окружности треугольника $ABC$.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 256 257 258 259 260 261 262 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями