Страница:
<< 285 286 287 288
289 290 291 >> [Всего задач: 2003]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
В треугольнике ABC сторона BC равна полусумме двух других сторон. Через точку A и середины B', C' сторон AB и AC проведена окружность Ω и к ней из центра тяжести треугольника проведены касательные. Доказать, что одна из точек касания является центром I вписанной окружности треугольника ABC.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Вдоль коридора положено несколько кусков ковровой дорожки. Куски покрывают весь
коридор из конца в конец без пропусков и даже налегают друг на друга, так что
над некоторыми местами пола они лежат в несколько слоев. Доказать, что можно
убрать несколько кусков, возможно, достав их из-под других и оставив остальные
в точности на тех же местах, где они лежали прежде, так что коридор по-прежнему
будет полностью покрыт, и общая длина оставленных кусков будет меньше удвоенной
длины коридора.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Дана последовательность
...,
a-n,...,
a-1,
a0,
a1,...,
an,...
бесконечная в обе стороны, причём каждый её член равен
суммы
двух соседних. Доказать, что если какие-то два её члена равны, то в ней есть
бесконечное число пар равных между собой чисел. (Пояснение: два члена, про
которые известно, что они равны, не обязательно соседние).
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10
|
Имеется 11 мешков монет. В 10 из них монеты настоящие, а в одном – все
монеты фальшивые. Все настоящие монеты одного веса, все фальшивые монеты –
также одного, но другого веса. Имеются весы, с помощью которых можно определить, какой из двух грузов тяжелее и на сколько. Двумя взвешиваниями определить, в каком мешке фальшивые монеты.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
На лист клетчатой бумаги размером n×n клеток кладутся чёрные и белые кубики, причём каждый кубик занимает ровно одну клетку. Первый слой кубиков положили произвольно, а затем вспомнили, что каждый чёрный кубик должен граничить с чётным числом белых, а каждый белый — с нечётным числом чёрных. Кубики во второй слой положили так, чтобы для всех кубиков первого слоя выполнялось это условие. Если для всех кубиков второго слоя это условие уже выполняется, то больше кубиков не кладут, если же нет, то кладут третий слой так, чтобы чтобы для всех кубиков второго слоя выполнялось это условие, и так далее. Существует ли такое расположение кубиков первого слоя, что этот процесс никогда не кончится?
Страница:
<< 285 286 287 288
289 290 291 >> [Всего задач: 2003]
Фильтр
