Страница: << 305 306 307 308 309 310 311 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 107814

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Простые числа и их свойства ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Докажите, что для любого многочлена P(x) степени n с натуральными коэффициентами найдется такое целое число k, что числа  P(k),  P(k + 1),  ...,
P(k + 1996)  будут составными, если
  а)  n = 1;
  б)  n – произвольное натуральное число.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107816

Темы:   [ Многочлены Чебышева ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Найдите какой-нибудь многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число   + .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107824

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Простые числа и их свойства ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

а) Докажите, что существует натуральное число, которое при замене любой тройки соседних цифр на произвольную тройку остаётся составным.
б) Существует ли такое 1997-значное число?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107830

Темы:   [ Задачи на движение ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10

По окружности в одном направлении на равных расстояниях курсируют n поездов. На этой дороге в вершинах правильного треугольника расположены станции A, B и C (обозначенные по направлению движения). Ира входит на станцию A и одновременно Лёша входит на станцию B, чтобы уехать на ближайших поездах. Известно, что если они входят на станции в тот момент, когда машинист Рома проезжает лес, то Ира сядет в поезд раньше Лёши, а в остальных случаях Лёша – раньше Иры или одновременно с ней. Какая часть дороги проходит по лесу?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107831

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

2n шахматистов дважды провели круговой турнир (за победу начисляется одно очко, за ничью – ½, за поражение – 0).
Докажите, что если сумма очков каждого изменилась не менее чем на n, то она изменилась ровно на n.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 305 306 307 308 309 310 311 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями