ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Годы:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 89 90 91 92 93 94 95 >> [Всего задач: 1957]      



Задача 65195

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Точки O и I – центры описанной и вписанной окружностей неравнобедренного треугольника ABC. Две равные окружности касаются сторон AB, BC и AC, BC соответственно; кроме этого, они касаются друг друга в точке K. Оказалось, что K лежит на прямой OI. Найдите ∠BAC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65197

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Автор: Креков Д.

По целому числу a построим последовательность  a1 = aa2 = 1 + a1a3 = 1 + a1a2a4 = 1 + a1a2a3,  ... (каждое следующее число на 1 превосходит произведение всех предыдущих). Докажите, что разности ее соседних членов  an+1an  – квадраты целых чисел.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65201

Тема:   [ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Последовательность (an) такова, что  an = n²  при  1 ≤ n ≤ 5  и при всех натуральных n выполнено равенство  an+5 + an+1 = an+4 + an.  Найдите a2015.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65202

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

В прошлом году Миша купил смартфон, который стоил целое четырёхзначное число рублей. Зайдя в магазин в этом году, он заметил, что цена смартфона выросла на 20% и при этом состоит из тех же цифр, но в обратном порядке. Какую сумму Миша потратил на смартфон?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65207

Темы:   [ Показательные функции и логарифмы (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Сумма нескольких не обязательно различных положительных чисел не превосходила 100. Каждое из них заменили на новое следующим образом: сначала прологарифмировали по основанию 10, затем округлили стандартным образом до ближайшего целого числа и, наконец, возвели 10 в найденную целую степень. Могло ли оказаться так, что сумма новых чисел превышает 300?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 89 90 91 92 93 94 95 >> [Всего задач: 1957]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .