Страница: << 341 342 343 344 345 346 347 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67601

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Четность и нечетность ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

На каждой из сторон правильного $N$-угольника живёт робот. Каждый робот едет по своей стороне со своей постоянной скоростью, в вершине мгновенно разворачивается и продолжает ехать с той же скоростью в противоположном направлении, и так далее. Когда два робота встречаются в какой-то вершине, там вспыхивает искра. Могло ли оказаться, что в каждой вершине искры вспыхивают с одной и той же ненулевой частотой, если

а) $N=3$;

б) $N=5$?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67613

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Существует ли бесконечное множество $S$, состоящее из квадратов натуральных чисел, такое, что для любых двух различных $x$ и $y$ из $S$ найдётся $z$ из $S$ (возможно, совпадающее с $x$ или $y$), для которого $x + y + z$ – квадрат натурального числа?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67522

Темы:   [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Инверсия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Дан треугольник $ABC$. Пусть $CL$ — его биссектриса, $W$ — середина дуги $BCA$, а $P$ — проекция ортоцентра на медиану, проведённую из вершины $C$. Окружность $CPW$ пересекает прямую, проходящую через $C$ и параллельную $AB$, в точке $Q$. Докажите, что $LC=LQ$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64454

Тема:   [ Симметричная стратегия ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Петя и Вася играют в такую игру. Сначала на столе лежит 11 кучек по 10 камней. Игроки ходят по очереди, начинает Петя. Каждым ходом игрок берёт 1, 2 или 3 камня, но Петя каждый раз выбирает все камни из любой одной кучки, а Вася всегда выбирает все камни из разных кучек (если их больше одного). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64532

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

В ячейку памяти компьютера записали число 6. Далее компьютер делает миллион шагов. На шаге номер n он увеличивает число в ячейке на наибольший общий делитель этого числа и n. Докажите, что на каждом шаге компьютер увеличивает число в ячейке либо на 1, либо на простое число.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 341 342 343 344 345 346 347 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями