Страница: << 189 190 191 192 193 194 195 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65410

Темы:   [ Площадь и ортогональная проекция ] [ Параллелограмм Вариньона ] [ Малые шевеления ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Прямоугольная проекция треугольной пирамиды на некоторую плоскость имеет максимально возможную площадь.
Докажите, что эта плоскость параллельна либо одной из граней, либо двум скрещивающимся ребрам пирамиды.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65455

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Трое играют в "камень-ножницы-бумагу". В каждом раунде каждый наугад показывает "камень", "ножницы" или "бумагу". "Камень" побеждает "ножницы", "ножницы" побеждают "бумагу", "бумага" побеждает "камень". Если в раунде было показано ровно два различных элемента (и значит, один из них показали дважды), то игроки (или игрок), показавшие победивший элемент, получают по 1 баллу; иначе баллы никому не начисляются. После нескольких раундов оказалось, что все элементы были показаны одинаковое количество раз. Докажите, что в этот момент сумма набранных всеми баллов делилась на 3.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65456

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC отметили точки K и L соответственно, а на гипотенузе AB – точку M так, что  AK = BL = a,
KM = LM = b  и угол KML прямой. Докажите, что  a = b.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65459

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Даны равнобедренный прямоугольный треугольник ABC и прямоугольный треугольник ABD с общей гипотенузой AB (D и C лежат по одну сторону от прямой AB). Пусть DK – биссектриса треугольника ABD. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ACK лежит на прямой AD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65460

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Дана бесконечно возрастающая арифметическая прогрессия. Первые её несколько членов сложили и сумму объявили первым членом новой последовательности, затем сложили следующие несколько членов исходной прогрессии и сумму объявили вторым членом новой последовательности, и так далее. Могла ли новая последовательность оказаться геометрической прогрессией?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 189 190 191 192 193 194 195 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями