Каталог по темам

Задачи

Страница: << 194 195 196 197 198 199 200 >> [Всего задач: 1007]

Задача 67377

Темы:	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Точка Микеля	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Авторы: Векшин М., Кузнецов С.

Точка $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Прямые, проходящие через точку $A$ параллельно $BI$, $CI$ пересекают серединный перпендикуляр к $AI$ в точках $S$, $T$ соответственно. Прямые $BT$ и $CS$ пересекаются в точке $Y$, а точка $A^*$ такова, что $BICA^*$ параллелограмм. Докажите, что середина отрезка $YA^*$ лежит на вневписанной окружности, касающейся стороны $BC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 73714

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Итерации	]
	[	Неравенства для углов треугольника	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Сжимающие отображения и неподвижные точки	]
	[	Композиции движений. Теорема Шаля	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Васильев Н.Б.

Для каждого непрямоугольного треугольника T обозначим через T₁ треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T; через T₂ – треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T₁; аналогично определим треугольники T₃, T₄ и так далее. Каким должен быть треугольник T, чтобы
а) треугольник T₁ был остроугольным?
б) в последовательности T₁, T₂, T₃, ... встретился прямоугольный треугольник T_n (и таким образом треугольник T_n+1 не определён)?
в) треугольник T₃ был подобен треугольнику T?
г) Для каждого натурального числа n выясните, сколько существует неподобных друг другу треугольников T, для которых треугольник T_n подобен треугольнику Т.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65756

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Точка Лемуана	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Кунгожин М.

Пусть ABC – остроугольный треугольник, в котором AC < BC; M – середина стороны AB. В описанной окружности Ω треугольника ABC, проведён диаметр CC'. Прямая CM пересекает прямые AC' и BC' в точках K и L соответственно. Перпендикуляр к прямой AC', проведённый через точку K, перпендикуляр к прямой BC', проведённый через точку L, и прямая AB образуют треугольник Δ. Докажите, что описанная окружность ω треугольника Δ касается окружности Ω.

Прислать комментарий Решение

Задача 73742

Темы:	[	Экстремальные свойства треугольника (прочее)	]
	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
	[	Наибольшая или наименьшая длина	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Подобные треугольники (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Нагаев Н.Д.

Даны два треугольника A₁A₂A₃ и B₁B₂B₃. "Опишите" вокруг треугольника A₁A₂A₃ треугольник M₁M₂M₃ наибольшей площади, подобный треугольнику B₁B₂B₃ (вершина A₁ должна лежать на прямой M₂M₃, вершина A₂ – на прямой A₁A₃, вершина A₃ – на прямой A₁A₂).

Прислать комментарий

Решение

Задача 65914

Темы:	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Из вершины тупого угла А треугольника АВС опущена высота AD. Проведена окружность с центром D и радиусом DA, которая вторично пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Найдите AC, если AB = c, AM = m и AN = n.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 194 195 196 197 198 199 200 >> [Всего задач: 1007]